Phương pháp giải:

Ghi nhớ các công thức lượng giác

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\(\begin{array}{l} + )\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + )cosC = \frac{{AC}}{{BC}}\\ + )\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + )\cot C = \frac{{AC}}{{AB}}\end{array}\)

 Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\sin B = \cos C;\,\,\,\cos B = \sin C;\,\,\,\tan B = \cot C;\,\,\cot B = \tan C.\)

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án B luôn đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Trong tam giác vuông, cos của một góc bằng độ dài cạnh kề góc đó chia cho độ dài cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác vuông \(ABH\) có \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức liên hệ giữa các cạnh và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) ta có:

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a} \Rightarrow b = a.\sin B\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: tan = cạnh đối/ cạnh kề.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\\\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\\\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}}\\\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array} \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác, tính chất hai góc phụ nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có : \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (Định lý Pi-ta-go)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\,\,cm.\)

Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\)                                    \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)                               \(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

Vì \(\angle B + \angle C = {90^0}\)

\( \Rightarrow \sin C = \cos B = \frac{3}{5}\)                                    \(\cos C = \sin B = \frac{4}{5}\)

    \(\tan C = \cot B = \frac{3}{4}\)                                 \(\cot C = \tan B = \frac{4}{3}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) \(\tan \alpha  = \frac{3}{4}\)

Dựng \(\angle xOy = {90^0}\)

Lấy điểm \(A \in Ox\) sao cho \(OA = 3\)

Lấy điểm \(B \in Oy\) sao cho \(OB = 4\)

Khi đó ta được \(\alpha  = \angle OBA\) vì \(\tan \angle OBA = \frac{3}{4}\)

b) \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\)

Dựng \(\angle xOy = {90^0}\)

Lấy điểm \(A \in Ox\) sao cho \(OA = 3\)

Dựng đường tròn \(\left( {A;5} \right) \cap Oy = \left\{ B \right\}\)

\( \Rightarrow \alpha  = \angle ABO\)

Khi đó ta được \(\alpha  = \angle OBA\) vì \(\sin \angle ABO = \frac{3}{5}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính cạnh BC.

Cho \(\angle B + \angle C = {90^0}.\)  Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\\\tan B = \cot C\\\cot B = \tan C.\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho  \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có : \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {7^2} + {21^2} = 490\)\( \Rightarrow BC = 7\sqrt {10} \,\,\,cm.\)

Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{21}}{{7\sqrt {10} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\)

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{{7\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{21}}{7} = 3\)

\(\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{7}{{21}} = \frac{1}{3}\)

Vì \(\angle B + \angle C = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \cos B = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\\cos C = \sin B = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\\\tan C = \cot B = \frac{1}{3}\\\cot C = \tan B = 3\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago để tính cạnh BC.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác, tính chất hai góc phụ nhau.

Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc  

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: 

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow BC = 5\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  ta có:

\(sinB = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  ta có:

\(\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {53^0}8' + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow \angle C \approx {36^0}52'\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: \(\sin  = \dfrac{{doi}}{{huyen}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta có các công thức: \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) \(\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1;\) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Vậy chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Pi-ta-go để tìm độ dài cạnh \(BC\).

- Sử dụng định nghĩa: \(cos\alpha \) = cạnh kề : cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow BC = 5\)

Khi đó \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5}\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MNP : \(MP = \sqrt {N{P^2} - M{N^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\,\,\left( {cm} \right)\).

Ta có:

\(\cot P = \frac{{MP}}{{MN}} = \frac{4}{3};\,\,\tan P = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{3}{4};\,\,\sin P = \frac{{MN}}{{NP}} = \frac{3}{5}\)

Vậy đáp án đúng là C.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Gọi các điểm như hình vẽ.

Khi đó chiều cao của đài kiểm soát là: \(AB = AC.\tan \angle C = 200.\tan {25^0}24' \approx 95\,m.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính cạnh huyền \(BC\) để sử dụng công thức \(\sin \) trong tam giác vuông \(ABC\): \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\)

Lời giải chi tiết:

Theo định lý Pytago: \(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {4^2} + {3^2} = {5^2} \Rightarrow BC = 5\)

\( \Rightarrow \sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{5}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức liên hệ giữa các cạnh và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) ta có:

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5} \Rightarrow BC = \frac{5}{3}AB\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức liên hệ giữa các cạnh và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Leftrightarrow {10^2} = A{C^2} + {6^2} \Rightarrow AC = 8\\\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(ABC\)  vuông tại \(A\):

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) và \(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow BC = \sqrt {25}  = 5\,\,\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\sin \angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}}.\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\sin \angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác trong tam giác vuông: \(AC = AB\tan B.\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AC = AB\tan B = 5.\tan {60^0} = 5\sqrt 3 \,\,cm.\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HCA\) ta có:

\(\begin{array}{l} & \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\\ & \frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{HA}}{{HC}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Lại có \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\)\( \Rightarrow HM = HC - MC = 16 - 12,5 = 3,5\,\,cm.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle BAH = \angle HCA\\\angle ABH = \angle HAC\end{array} \right.\)  (các góc tương ứng).  

Mà \(\angle ABH + \angle BAH = {90^0} \Rightarrow \angle BAH + \angle HAC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Theo đề bài ta có \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\left( {HB + HC} \right) = \frac{1}{2}\left( {9 + 16} \right) = 12,5\,\,cm.\)

Xét \(\Delta HAM\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle HAM = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{3,5}}{{12,5}} = \frac{7}{{25}} &  &  & \cos \angle HAM = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{12}}{{12,5}} = \frac{{24}}{{25}}\\\tan \angle HAM = \frac{{HM}}{{AH}} = \frac{{3,5}}{{12}} = \frac{7}{{24}} &&& \cot \angle HAM = \frac{{AH}}{{HM}} = \frac{{12}}{{3,5}} = \frac{{24}}{7}.\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Vì độ cao 85m > 50m ( = R), nên ta có hình vẽ bên.

\(\Delta AIH\)vuông tại H có: \(\sin \widehat{AIH}=\frac{AH}{IA}=\frac{AK-HK}{IA}=\frac{85-50}{50}=\frac{7}{10}\)

 \(\Rightarrow \widehat{AIH}\approx 44,{{42}^{0}}\Rightarrow \widehat{AIO}\approx 134,{{42}^{0}}\)

Người đó đạt được độ cao 85m lần đầu sau số giây là:

\(\frac{134,42}{360}.\left( 15.60 \right)\approx 336,1(s).\)

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Ta thừa nhận gốc cây đó mọc gần như vuông góc với mặt đất, từ đó sử dụng góc giữa tia nắng mặt trời với mặt đất để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa:

Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây

Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan \alpha =\tan {{30}^{o}}=\frac{BC}{AB}=\frac{h}{20}\Rightarrow h=20.\tan {{30}^{o}}=11,5\left( m \right)\)

Vậy chiều cao của cây là: \(h=11,5m\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác để tìm số đo góc ABC.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cot ABC = \frac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3  \Rightarrow \angle ABC = {30^0}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Góc nâng của máy bay là góc tạo bởi hướng chuyển động bay lên của may bay với phương nằm ngang của mặt đất. Từ đó áp dụng công thức sin để tính đoạn đường mà máy bay cần bay để đạt độ cao 250m.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa.

Độ dài đoạn AC chính là quãng đường máy bay cần đi để đạt độ cao 250m.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\sin \left( {\angle CAB} \right) = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{BC}}{{\sin \left( {\angle CAB} \right)}} = \frac{h}{{\sin {{23}^o}}} = \frac{{250}}{{\sin {{23}^o}}} \approx 640\left( m \right)\)

Vậy máy bay cần bay quãng đường 640 (m) để đạt được độ cao 250 (m).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính cạnh huyền \(BC\) qua cos góc \(B\) sau đó sử dụng tính chất: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) ta có:

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{BC}} = \frac{5}{8} \Rightarrow BC = 8\)

Do\(AM\) là trung tuyến của tam giác vuông \(ABC \Rightarrow AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Tính chất tam giác cân.

Công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(ABC\) cân tại\(A\) nên là \(AE\) đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow E\) là trung điểm \(BC \Rightarrow EB = EC = 5\)

Xét \(\Delta ABE\)vuông tại \(E\) có:

\(A{E^2} + E{B^2} = A{B^2}\) (Định lý Pi-ta-go)

\(A{E^2} + {5^2} = {13^2} \Rightarrow AE = 12\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{AE.BC}}{2} = \frac{{12.10}}{2} = 60\)

Mặt khác: \({S_{ABC}} = \frac{{AC.BH}}{2} \Leftrightarrow 60 = \frac{{13.BH}}{2}\)\( \Rightarrow BH = \frac{{120}}{{13}}\)

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại \(H\) có: \(sinA = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{120}}{{13}}:13 = \frac{{120}}{{169}}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Công thức tính diện tích hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ADE\) vuông tại \(E\) có:

\(sinD = \frac{{AE}}{{AD}} \Leftrightarrow sin{70^0} = \frac{{AE}}{{12}} \Rightarrow AE = 12.sin{70^0}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AE.DC = 12.\sin {70^0}.15 \approx 139,3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác.

Công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại \(H\) có:

\(sinB = \frac{{AH}}{{AB}} \Leftrightarrow sinB = \frac{{AH}}{c} \Leftrightarrow AH = csinB\)

\({S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{1}{2}ac\sin B\) (đpcm)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{{{\cot }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{{\sin \alpha .cos\alpha }}{{\cot \alpha }}\\ = 1 - \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cot }^2}\alpha }} + \frac{{\sin \alpha .cos\alpha }}{{\frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}}}\\ = 1 - \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\frac{{co{s^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}} + \frac{{\sin \alpha .cos\alpha }}{{\frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}}}\\ = 1 - {\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1 = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tách \(\angle AOC = \angle AOB - \angle COD\). Áp dụng công thức cộng lượng giác và Pitago để tính \(\cos \angle AOC\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta COD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle OBA = \angle CDO = {90^o}\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\OB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = OD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta COD\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow OA = OC\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow OA.OC = O{A^2} = O{B^2} + A{B^2} = {a^2} + {b^2}\) (Pitago)

\(\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \cos \left( {\angle AOB - \angle COD} \right) = \cos \angle AOB\cos \angle COD + \sin \angle AOB\sin \angle COD\\ = \frac{{OB}}{{OA}}.\frac{{OD}}{{OC}} + \frac{{AB}}{{OA}}.\frac{{CD}}{{OC}} = \frac{{OB.OD + AB.CD}}{{OA.OC}} = \frac{{ab + ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\end{array}\)

Chọn A.