20 bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Với góc nhọn \(\alpha \) tùy ý, khẳng định nào sau đây là Sai?

  • A \(\tan \,\alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
  • B \(\tan \,\alpha .\cot \alpha  = 1.\)
  • C \(\cot \,\alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
  • D \({\sin ^2}\alpha  + \cos {\,^2}\alpha  = 1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Ta có các công thức: \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) \(\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1;\) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Vậy chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A \(\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)          
  • B \(\sin {\alpha ^2} + \cos {\alpha ^2} = 1\)      
  • C \(\tan \alpha  = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)
  • D \(\cot \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: đúng

+) Đáp án B: sai, công thức đúng: \({\sin ^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

+) Đáp án C: sai, công thức đúng: \(\tan \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)

+) Đáp án D: sai, công thức đúng: \(\cot \alpha  = \tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.

Câu 1:

\(\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\)   

  • A \(\cos {44^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0} < \cos {55^0}\)
  • B \(\cos{44^0} < \cos {55^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0}\)
  • C \(\cos {55^0} < \cos {44^0} < \sin {50^0} < \sin {70^0}\)
  • D \(\cos {55^0} < \cos {44^0} < \sin {70^0} < \sin {50^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng \(0 < \alpha  < \beta  < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  < \sin \beta \\cos\alpha  > cos\beta \end{array} \right..\)

Ta có: \(\alpha  + \beta  = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \beta \\\cos \alpha  = \sin \beta \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos {\rm{ }}{44^o},{\rm{ sin }}{50^o},{\rm{ sin }}{70^o},{\rm{ cos }}{55^o}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {\rm{ }}{44^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{46}^0}} \right) = {\rm{sin 4}}{{\rm{6}}^0}\\\cos {\rm{ 5}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{35}^0}} \right) = {\rm{sin 3}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\)

Vì \({35^0} < {46^0} < {50^0} < {70^0}\)\( \Rightarrow {\rm{sin 3}}{5^o} < \sin {\rm{ }}{46^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos }}{55^o} < \cos {\rm{ }}{44^o} < {\rm{sin }}{50^o} < {\rm{sin }}{70^o}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\)  

  • A \(\sin {49^0} < \sin {65^0} < \cos {15^0} < \cos {50^0} < \cos {42^0}\)
  • B \(\cos {50^0} < \cos {42^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0} < \cos {15^0}\)
  • C \(\cos {50^0} < \cos {42^0} < \cos {15^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0}\)
  • D \(\cos {15^0} < \cos {42^0} < \cos {50^0} < \sin {49^0} < \sin {65^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng \(0 < \alpha  < \beta  < {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  < \sin \beta \\cos\alpha  > cos\beta \end{array} \right..\)

Ta có: \(\alpha  + \beta  = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \beta \\\cos \alpha  = \sin \beta \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\({\rm{sin }}{49^o},{\rm{ cos }}{15^o},{\rm{ sin }}{65^o},{\rm{ cos }}{50^o},{\rm{ }}\cos {\rm{ }}{42^o}\)       

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}sin{\rm{ }}{49^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{41}^0}} \right) = {\rm{sin 4}}{{\rm{1}}^0}\\sin{\rm{ 6}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{ }}\left( {{{90}^0} - {{25}^0}} \right) = {\rm{sin 2}}{{\rm{5}}^0}\end{array} \right.\)

Vì \({15^0} < {25^0} < {41^0} < {42^0} < {50^0}\)\( \Rightarrow \cos {\rm{ }}{50^o} < \cos {\rm{ }}{42^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 4}}{{\rm{1}}^o}{\rm{ < }}\cos {\rm{ 2}}{{\rm{5}}^o} < \cos {15^0}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos }}{50^0} < \cos {\rm{ }}{42^0} < {\rm{sin }}{49^0} < {\rm{sin }}{65^0}{\rm{ <  cos }}{15^0}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) với \(0 < \alpha  < {90^0}\) biết:

Câu 1:

\(\sin \alpha  = \frac{2}{3}\)

  • A \(\cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • B \(\cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • C \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • D \(\cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\,\,;\,\,\,\tan \alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\,\,;\,\,\,\cot \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < \alpha  < {90^0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  > 0\\\cos \alpha  > 0\\\tan \alpha  > 0\\\cot \alpha  > 0\end{array} \right..\)

\(\sin \alpha  = \frac{2}{3}\)

*\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

*\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{3}:\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

*\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(\tan \alpha  = \frac{4}{3}\)

  • A \(\sin \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{3}{4}\)
  • B \(\sin \alpha  = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{3}{4}\)
  • C \(\sin \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{3}{4}\)
  • D \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{3}{4}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < \alpha  < {90^0}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  > 0\\\cos \alpha  > 0\\\tan \alpha  > 0\\\cot \alpha  > 0\end{array} \right..\)

\(\tan \alpha  = \frac{4}{3}\)

* \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha  = 1:tan\alpha  = 1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\)

* \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{25}}{9}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{9}{{25}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{5}\)

*\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{4}{5}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) biết:

Câu 1:

\(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\)

  • A \(\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha  = \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{{12}}{5}\)
  • B \(\cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha  =  \pm \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\cot \alpha  =  \pm \frac{{12}}{5}\)
  • C \(\cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha  =  \pm \frac{{12}}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  =  \pm \frac{5}{{12}}\)
  • D \(\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}\,\,;\,\,\tan \alpha  = \frac{{12}}{5}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{5}{{12}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\)

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{13}}\)

Lại có: \({\tan ^2}\alpha  + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{{169}}{{144}} - 1 = \frac{{25}}{{144}}\) \( \Rightarrow \tan \alpha  =  \pm \frac{5}{{12}}\)

\( \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  \pm \frac{{12}}{5}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(\tan \alpha  = \frac{{12}}{{35}}\)

  • A \(\cot \alpha  = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\sin \alpha  = \frac{{12}}{{37}}\)
  • B \(\cot \alpha  = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\sin \alpha  =  \pm \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{37}}\)
  • C \(\cot \alpha  = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\sin \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{37}}\)
  • D \(\cot \alpha  = \frac{{35}}{{12}}\,\,;\,\,\sin \alpha  = \frac{{35}}{{37}}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{{12}}{{37}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\tan \alpha  = \frac{{12}}{{35}}\)

Ta có: \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\frac{{12}}{{35}} = \frac{{35}}{{12}}\)

Lại có: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{{12}}{{35}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{1369}}{{1225}}\)\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{1225}}{{1369}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{35}}{{37}}\)

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{35}}{{37}}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{{1225}}{{1369}} = \frac{{144}}{{1369}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{37}}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tính các tỷ số lượng giác còn lại của \(\alpha \) biết:

Câu 1:

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{3}{4}\)

  • A \(\sin \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha  =  \pm \frac{{16}}{{15}}\,\,;\,\,\cot \alpha  =  \pm \frac{{15}}{{16}}\)
  • B \(\sin \alpha  = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha  = \frac{{16}}{{15}}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{{15}}{{16}}\)
  • C \(\sin \alpha  = \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha  = \frac{{15}}{{16}}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{{16}}{{15}}\)
  • D \(\sin \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\,\,;\,\,\tan \alpha  =  \pm \frac{{15}}{{16}}\,\,;\,\,\cot \alpha  =  \pm \frac{{16}}{{15}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{3}{4}\)

*\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\)

*\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  \pm \frac{4}{5}:\frac{3}{4} =  \pm \frac{{16}}{{15}}\)

*\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = 1:\left( { \pm \frac{{16}}{{15}}} \right) =  \pm \frac{{15}}{{16}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(cot\alpha  = \frac{8}{{15}}\)

  • A \(\tan \alpha  = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\sin \alpha  = \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{8}{{17}}\)
  • B \(\tan \alpha  =  \pm \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\sin \alpha  =  \pm \frac{8}{{17}}\)
  • C \(\tan \alpha  = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\cos \alpha  = \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\sin \alpha  = \frac{8}{{17}}\)
  • D \(\tan \alpha  = \frac{{15}}{8}\,\,;\,\,\sin \alpha  =  \pm \frac{{15}}{{17}}\,\,;\,\,\cos \alpha  =  \pm \frac{8}{{17}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(cot\alpha  = \frac{8}{{15}}\)

* \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1 \Leftrightarrow tan\alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} = \frac{1}{{\frac{8}{{15}}}} = \frac{{15}}{8}\)

* \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow 1 + {\left( {\frac{8}{{15}}} \right)^2} = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{si{n^2}\alpha }} = \frac{{289}}{{225}}\)\( \Rightarrow si{n^2}\alpha  = \frac{{225}}{{289}}\)\( \Rightarrow sin\alpha  =  \pm \frac{{15}}{{17}}\)

*\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{15}}{{17}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{{225}}{{289}} = \frac{{64}}{{289}}\)\( \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{8}{{17}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Giá trị của biểu thức \(P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\) bằng

  • A \(0\)
  • B \(1\)  
  • C \(2\)
  • D \(3\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\;\;{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\\ = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\sin ^2}{40^0} + {\sin ^2}{20^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + {{\sin }^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{40}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 1:

\(A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\) 

  • A \(A=0\)
  • B \(A = \frac{7}{2}\)
  • C \(A = \frac-{7}{2}\)
  • D \(A = \frac{5}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\end{array}\) 

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\)

  • A \(B=0\)
  • B \(B=1\)
  • C \(B = \frac{7}{2}\)
  • D \(B =- \frac{7}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đặc biệt: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\\tan \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} - \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.cot{10^0} - \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 - 1 = 0.\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Biết \({0^0} < \alpha  < {90^0}\). Giá trị bủa biểu thức \(\left[ {\sin \alpha  + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha  - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]\) bằng:

  • A \( - 4\)              
  • B \(4\)      
  • C \(\frac{{ - 3}}{2}\)     
  • D \(\frac{3}{2}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: \(\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right);\,\,\,\,\cos \alpha  = \sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left[ {\sin \alpha  + 3\,\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha  - 2\cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)} \right] = \left( {\sin \alpha  + 3\sin \alpha } \right):\left( {\sin \alpha  - 2\sin \alpha } \right)\\ = \left( {4\sin \alpha } \right):\left( { - \sin \alpha } \right) =  - 4.\end{array}\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tính số đo góc nhọn \(\alpha \) biết \(10{\sin ^2}\alpha  + 6{\cos ^2}\alpha  = 8\).

  • A \(\alpha  = {30^0}.\)
  • B \(\alpha  = {45^0}.\)

     

  • C \(\alpha  = {60^0}.\)
  • D \(\alpha  = {120^0}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\,\forall \alpha \).

- Tính \(\sin \alpha \), từ đo suy ra số đo góc \(\alpha \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(10{\sin ^2}\alpha  + 6{\cos ^2}\alpha  = 8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha  + 6\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha  + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

\(Do\,\,\alpha  < {90^0} \Rightarrow \sin \alpha  > 0 \Leftrightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy \(\alpha  = {45^0}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Hãy đơn giản các biểu thức:

Câu 1:

\(1 - {\sin ^2}x\)

  • A \({\cos ^2}x\)
  • B \({\tan ^2}x\)
  • C \({\cot ^2}x\)
  • D \( - {\cos ^2}x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(1 - {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

  • A \({\tan ^3}x\)
  • B \({\cos ^3}x\)
  • C \({\cot ^3}x\)
  • D \({\sin ^3}x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin x - \sin x.{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)\( = \sin x\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)\)\( = \sin x.{\sin ^2}x = {\sin ^3}x\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

\({\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\)

  • A \({\cos ^2}x\)
  • B \({\tan ^2}x\)
  • C \({\cot ^2}x\)
  • D \({\sin ^2}x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\({\tan ^2}x - {\sin ^2}x.{\tan ^2}x\)\( = {\tan ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{co{s^2}x}}.co{s^2}x = {\sin ^2}x\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho biểu thức \(A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha }}\)  với \(\alpha  \ne {45^0}\)   

a) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}\)

b) Tính giá trị của A biết \(\tan \alpha  = \frac{1}{3}\).

  • A \({\rm{b)}}\,\,A = \frac{1}{2}\)
  • B \({\rm{b)}}\,\,A =  - \frac{1}{2}\)
  • C \({\rm{b)}}\,\,A = \frac{3}{2}\)
  • D \({\rm{b)}}\,\,A =  - \frac{3}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right..\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sin \alpha  - c{\rm{os}}\alpha }}{{\sin \alpha  + c{\rm{os}}\alpha }}\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{1 - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)}^2}}}{{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}}\\ = \frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }}\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Tính giá trị của A biết \(\tan \alpha  = \frac{1}{3}\).

Theo ý a ta có: \(A = \frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\sin \alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{\tan \alpha  + 1}}\)

Thay \(\tan \alpha  = \frac{1}{3}\) vào A ta được: \(A = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{\tan \alpha  + 1}} = \frac{{\frac{1}{3} - 1}}{{\frac{1}{3} + 1}} =  - \frac{1}{2}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tính giá trị của các biểu thức:

Câu 1:

\(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\)

  • A \(A = 1\)
  • B \(A = 2\)
  • C \(A = 0\)
  • D \(A = \frac{1}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\)\(\,\tan \alpha .cot\alpha  = 1.\)

Cho \(\angle B + \angle C = {90^0}.\)  Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\)

\(A = \frac{{\cos {{41}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.\tan {62^0}\)\( = \frac{{\sin {{49}^0}}}{{\sin {{49}^0}}} + \tan {28^0}.cot{28^0}\)\( = 1 + 1 = 2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\)

  • A \(B = 1\)
  • B \(B = 2\)
  • C \(B = 0\)
  • D \(B = \frac{1}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\)\(\,\tan \alpha .cot\alpha  = 1.\)

Cho \(\angle B + \angle C = {90^0}.\)  Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin B = \cos C\\\cos B = \sin C\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\)

\(\begin{array}{l}B = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{70^0} + {\cos ^2}{80^0}\\ = {\cos ^2}{10^0} + {\cos ^2}{20^0} + si{n^2}{20^0} + si{n^2}{10^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{20}^0} + si{n^2}{{20}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{10}^0} + si{n^2}{{10}^0}} \right)\\ = 1 + 1 = 2.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tính giá trị của các biểu thức:

Câu 1:

\(C = {(3\sin \alpha  + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2}\)

  • A \(C = 5\)
  • B \(C = 9\)
  • C \(C = 25\)
  • D \(C = 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(C = {(3\sin \alpha  + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}C = {\left( {3\sin \alpha  + 4\cos \alpha } \right)^2} + {\left( {4\sin \alpha  - 3\cos \alpha } \right)^2}\\ = 9{\sin ^2}\alpha  + 24\sin \alpha \cos \alpha  + 16{\cos ^2}\alpha  + 16{\sin ^2}\alpha  - 24\sin \alpha \cos \alpha  + 9{\cos ^2}\alpha \\ = 25{\sin ^2}\alpha  + 25{\cos ^2}\alpha \\ = 25\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 25.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Cho biết \(\tan \alpha  = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha  - 25{{\cos }^3}\alpha }}\)

  • A \(M =  - \frac{1}{3}\)
  • B \(M =  - 1\)
  • C \(M =  - \frac{{89}}{{459}}\)
  • D \(M =  - \frac{{72}}{{459}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Sử dụng công thức lượng giác:  \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha  - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3}}{{\frac{{27{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha  - 25}}\)

Thay \(\tan \alpha  = \frac{2}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:

\(M = \frac{{{{\tan }^3}\alpha  + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha  - 25}} = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} =  - \frac{{89}}{{459}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tính giá trị biểu thức:

Câu 1:

\(M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\)

  • A \(M = 3\)
  • B \(M = \frac{5}{2}\)
  • C \(M = \frac{3}{2}\)
  • D \(M = \frac{7}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \(\alpha  + \beta  = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \beta \\\cos \alpha  = \sin \beta \end{array} \right.\)

Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

\(M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\)

\(\begin{array}{l}M = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{46^o} + {\sin ^2}{47^o} + {\sin ^2}{48^o}\\ = {\sin ^2}{42^o} + {\sin ^2}{43^o} + {\sin ^2}{44^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\cos ^2}{44^o} + {\cos ^2}{43^o} + {\cos ^2}{42^o}\\ = \left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{42}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{42}^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{43}^o}{\rm{ +  co}}{{\rm{s}}^2}{{43}^o}} \right) + \left( {{\rm{ }}{{\sin }^2}{{44}^o} + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{44}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\)

  • A \(N = \frac{1}{2}\)
  • B \(N = 1\)
  • C \(N =  - 1\)
  • D \(N =  - \frac{1}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau: \(\alpha  + \beta  = {90^0} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \beta \\\cos \alpha  = \sin \beta \end{array} \right.\)

Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

\(N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\)

\(\begin{array}{l}N = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\cos ^2}{55^o} - {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{75^o}\\ = {\cos ^2}{15^o} - {\cos ^2}{25^o} + {\cos ^2}{35^o} - {\cos ^2}{45^o} + {\sin ^2}{35^o} - {\sin ^2}{25^o} + {\sin ^2}{15^0}\\ = \left( {{{\cos }^2}{{15}^o} + si{n^2}{{15}^0}} \right) - \left( {{{\cos }^2}{{25}^o} + si{n^2}{{25}^0}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{35}^o} + si{n^2}{{35}^0}} \right) - {\cos ^2}{45^o}\\ = 1 - 1 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

  • A -2
  • B -1
  • C 1
  • D 2

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

  • A \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\,\,\tan \alpha  =  - \frac{2}{3};\,\,\cot \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • B \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\,\,\tan \alpha  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5};\,\,\cot \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
  • C \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{3};\,\,\tan \alpha  = \sqrt 2 ;\,\,\cot \alpha  = \frac{1}{2}\)
  • D \(\cos \alpha  = \frac{1}{3};\,\,\tan \alpha  = 2;\,\,\cot \alpha  = \frac{1}{2}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

  • A cosA=-\frac{4}{5};tanA=-\frac{3}{4};cotA=-\frac{4}{3}
  • B cosA=\frac{4}{5};tanA=\frac{3}{4};cotA=\frac{4}{3}
  • C cosA=\frac{3}{4};tanA=\frac{4}{5};cotA=\frac{5}{4}
  • D cosA=-\frac{3}{4};tanA=-\frac{4}{5};cotA=-\frac{5}{4}

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

a) \(1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)                                  b) \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

c) \({\cos ^4}x-{\rm{ si}}{{\rm{n}}^4}x = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\)                            d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1 - {\rm{ }}3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array} \right..\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) \(1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(VT = 1 + {\rm{ }}{\tan ^2}x\)\( = 1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\)\( = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = VP\)(đpcm)

b) \(1 + {\cot ^2}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

\(VT = 1 + {\cot ^2}x{\rm{ }} = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) (đpcm)

c) \({\cos ^4}x--{\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\)

\(\begin{array}{l}{\cos ^4}x--{\sin ^4}x = \left( {{{\cos }^2}x--{{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x{\rm{  +  }}{{\sin }^2}x} \right)\\ = {\cos ^2}x--{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x{\rm{ }}} \right)\\ = 2{\cos ^2}x{\rm{ }} - 1\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

d. \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x{\rm{ }} = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\)

\(\begin{array}{l}{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

a) \({\left( {\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)^2}\)

b) \(\frac{{{{(c{\rm{os}}\alpha  - \sin \alpha )}^2} - {{(c{\rm{os}}\alpha  + \sin \alpha )}^2}}}{{c{\rm{os}}\alpha .\sin \alpha }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) \({\left( {\cos \alpha  - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {\cos \alpha  - {\rm{sin}}\alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha  + {\rm{sin}}\alpha } \right)^2}\\ = {\cos ^2}\alpha  - 2{\rm{sin}}\alpha .\cos \alpha  + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2{\rm{sin}}\alpha \cos \alpha  + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \\ = 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + 2{\cos ^2}\alpha  = 2\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2.1 = 2.\end{array}\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

b. \(\frac{{{{\left( {\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {\cos \alpha  - \sin \alpha } \right)}^2} - {{\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  - 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }}\\ = \frac{{ - 4\sin \alpha \cos \alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} =  - 4.\end{array}\)

Vậy giá trị của các biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn \(\alpha \).

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.