40 bài tập tổng hợp về Căn thức bậc hai

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Căn bậc hai số học của \(36\) là:

  • A \( - 6\)          
  • B \(6\)  
  • C \(72\)                    
  • D \(18\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Số dương \(a\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt a .\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(36\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt {36}  = 6.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Căn bậc hai số học của \(16\) là

  • A \(4\)
  • B \( - 4\)
  • C \( \pm 4\)         
  • D \(256\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Với số dương \(a\), số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của số \(a\).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {16}  = 4\), vì \(4 \ge 0\) và \({4^2} = 16\).

Vậy căn bậc hai số học của \(16\) là \(4\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Tính giá trị các biểu thức sau: \(T = \sqrt 4  + \sqrt {25}  - \sqrt 9 \)

  • A \(T = 1\)
  • B \(T = 2\)
  • C \(T = 3\)
  • D \(T = 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Khai căn bậc hai của một số.  \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(T = \sqrt 4  + \sqrt {25}  - \sqrt 9  = 2 + 5 - 3 = 4\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Số 9 có bao nhiêu căn bậc hai?

  • A \(0\)
  • B \(1\)                  
  • C \(2\)      
  • D \(3\)      

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Với số thực dương \(a\) có 2 căn bậc hai là \(\sqrt a \) và \( - \sqrt a .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(9\) có \(2\) căn bậc hai là \(3\) và \( - 3.\) 

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Căn bậc hai số học của \(4\) là

  • A \( - 2\)           
  • B \(2\) và \( - 2\)       
  • C \(2\)
  • D \(16\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số \(a > 0\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt a .\)

Lời giải chi tiết:

Số \(4\) có căn bậc hai số học là: \(\sqrt 4  = 2\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Căn bậc hai số học của \(144\) là:

  • A \(12\)   
  • B \(13\)    
  • C \( - 12\)  
  • D \(12\) và \( - 12\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Căn bậc hai số học của số dương \(a\) là \(\sqrt a .\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có căn bậc hai số học của \(144\) là \(\sqrt {144}  = 12.\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tìm các câu đúng trong các câu sau:

A. Căn bậc hai của \(0,0121\)  là \(0,11.\)

B. Căn bậc hai của \(0,0121\)  là \(1,1.\)

C. Căn bậc hai của \(0,0121\)  là \(0,11.\) và \( - 0,11.\)

D. \(\sqrt {0,0121}  =  \pm 0,11\)

E. \(\sqrt {0,0121}  = 0,11\)

  • A câu A và E đúng
  • B Câu C và E đúng
  • C Câu D đúng
  • D Câu C đúng

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Đáp án A, B sai vì \(0,0121\) có hai căn bậc hai là \(0,11\) và \( - 0,11.\)

Đáp án D sai vì \(\sqrt {0,0121}  = 0,11.\)

Đáp C và câu E đúng.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tìm căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 4; 49; 0,01; 0,0009

  • A \(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có căn bậc hai  là: \(2.\)

    \(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có căn bậc hai  là: \(7.\) 

    \(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có  căn bậc hai  là: \( - 0,1.\)

    \(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có  căn bậc hai  là: \(0,03.\)

  • B \(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có căn bậc hai  là: \(-2.\)

    \(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có căn bậc hai  là:  \( - 7.\)

    \(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có  căn bậc hai  là: \( - 0,1.\)

    \(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có  căn bậc hai  là: \(-0,03.\)

  • C \(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có căn bậc hai  là: \(2.\)

    \(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có căn bậc hai  là:  \( - 7.\)

    \(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có  căn bậc hai  là: \(  0,1.\)

    \(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có  căn bậc hai  là: \(-0,03.\)

  • D \(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(2\) và \( - 2.\)

    \(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(7\) và \( - 7.\)

    \(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,1\)  và \( - 0,1.\)

    \(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,03\)  và \( - 0,03.\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(2\) và \( - 2.\)

\(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(7\) và \( - 7.\)

\(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,1\)  và \( - 0,1.\)

\(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,03\)  và \( - 0,03.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

So sánh các số sau:

a) \(\sqrt 3 \) và \(\sqrt 2 \)                                          b) \(5\) và \(\sqrt 5 \)

c) \(2\) và \(\sqrt 8  - 1\)                                       d) \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } \) và \(\sqrt {1 + \sqrt 6 } \)

  • A \(a)\,  \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

    \(b)\, 5 > \sqrt 5 \)

    \(c) \,2 < \sqrt 8  - 1\)

    \(d) \, \sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  > \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

  • B \(a)\,  \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

    \(b)\, 5 > \sqrt 5 \)

    \(c) \,2 < \sqrt 8  - 1\)

    \(d) \, \sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

  • C \(a)\,  \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

    \(b)\, 5 > \sqrt 5 \)

    \(c) \,2 > \sqrt 8  - 1\)

    \(d) \, \sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

  • D \(a)\,  \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

    \(b)\, 5 > \sqrt 5 \)

    \(c) \,2 > \sqrt 8  - 1\)

    \(d) \, \sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  > \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt 3 \) và \(\sqrt 2 \)

Ta có: \(3 > 2 \Rightarrow \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

b) \(5\) và \(\sqrt 5 \)

Ta có: \(5 = \sqrt {25} ;\,\,\,25 > 5 \Rightarrow \sqrt {25}  > 5\,\,\,hay\,\,\,5 > \sqrt 5 .\)

c) \(2\) và \(\sqrt 8  - 1\)

Ta có: \(3 = \sqrt 9 ,\,\,\,9 > 8 \Rightarrow \sqrt 9  > \sqrt 8 \)

\( \Rightarrow \sqrt 9  - 1 > \sqrt 8  - 1 \Leftrightarrow 3 - 1 > \sqrt 8  - 1 \Leftrightarrow 2 > \sqrt 8  - 1.\)

d) \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } \) và \(\sqrt {1 + \sqrt 6 } \)

Ta có: \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  = \sqrt {\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }  = \sqrt {\sqrt {5 + 2\sqrt 5  + 1} }  = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} }  = \sqrt {\sqrt 5  + 1} .\)

Vì \(\sqrt 5  < \sqrt 6  \Rightarrow \sqrt 5  + 1 < \sqrt 6  + 1 \Rightarrow \sqrt {\sqrt 5  + 1}  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} \)

 Vậy  \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = {{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  - 1}}\)  khi \(x = 9.\)

  • A \(A = 1\)
  • B \(A = 2\)
  • C \(A = 3\)
  • D \(A = 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Biến đổi \(x\) sau đó thay giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) khi \(x = 9.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\)  ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 1}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{3 + 1}}{{3 - 1}} = 2.\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = 2.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Nếu x thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {3 + \sqrt x }  = 2\) thì x nhận giá trị là:

  • A 0
  • B 4
  • C 5
  • D 1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 + \sqrt x  \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Rút gọn các biểu thức:

Câu 1: \(A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80} .\)

  • A \(A =  - \sqrt 5 \)
  • B \(A = \sqrt 5 \)
  • C \(A =  - 2\sqrt 5 \)
  • D \(A =  - 3\sqrt 5 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80} \\\,\,\,\,\, = 2\sqrt {{2^2}.5}  + 3\sqrt {{3^2}.5}  - 4\sqrt {{4^2}.5} \\\,\,\,\,\, = 4\sqrt 5  + 9\sqrt 5  - 16\sqrt 5  =  - 3\sqrt 5 .\end{array}\)

Vậy \(A =  - 3\sqrt 5 \) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \(B = \left( {2 + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}} \right).\)

  • A \(B = \sqrt x  - 1.\)
  • B \(B = 2\sqrt x  + 1.\)
  • C \(B = \sqrt x  + 1.\)
  • D \(B = 2\sqrt x  - 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Quy đồng các mẫu sau đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {2 + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\, = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\,\, = \sqrt x  + 1\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\) thì \(B = \sqrt x  + 1.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tính giá trị biểu thức:

Câu 1: \(A = 2\sqrt {48}  + 3\sqrt {75}  - 2\sqrt {108} \)

  • A \(A = 9\sqrt 3 \)
  • B \(A = 10\sqrt 3 \)
  • C \(A = 11\sqrt 3 \)
  • D \(A = 12\sqrt 3 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \,\,\,\left( {B \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(A = 2\sqrt {48}  + 3\sqrt {75}  - 2\sqrt {108} \)

\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt {{4^2}.3}  + 3\sqrt {{5^2}.3}  - 2\sqrt {{6^2}.3} \\A = 2.4.\sqrt 3  + 3.5\sqrt 3  - 2.6\sqrt 3 \\A = 8\sqrt 3  + 15\sqrt 3  - 12\sqrt 3 \\A = \left( {8 + 15 - 12} \right)\sqrt 3  = 11\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(A = 11\sqrt 3 \).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \(B = \sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \)

  • A \(B = 2\)
  • B \(B = 4\)
  • C \(B = 6\)
  • D \(B = 8\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

\(B = \sqrt {19 + 8\sqrt 3 }  + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } \)

\(\begin{array}{l}B = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3  + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3  + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \\B = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\B = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| + \left| {4 - \sqrt 3 } \right|\\B = 4 + \sqrt 3  + 4 - \sqrt 3 \,\,\left( {Do\,\,4 + \sqrt 3  > 0;\,\,4 - \sqrt 3  > 0} \right)\\B = 8\end{array}\)

Vậy \(B = 8\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Chứng minh \(A = \sqrt {2\sqrt 5  + 6}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 2018\) là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Rút gọn \(A\), sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}A = \sqrt {2\sqrt 5  + 6}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 2018\\A = \sqrt {{1^2} + 2.\sqrt 5 .1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 2018\\A = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + 2018\\A = \left| {1 + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + 2018\\A = 1 + \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1 + 2018\,\,\left( {Do\,\,1 + \sqrt 5  > 0;\,\,\sqrt 5  - 1 > 0} \right)\\A = 2020\,\\ \Rightarrow A \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy \(A\) là một số nguyên.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tính giá trị các biểu thức sau:

Câu 1: \(\sqrt 4  + 3\)

  • A \(1\)
  • B \(4\)
  • C \(3\)
  • D \(5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 4  + 3 = 2 + 3 = 5\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \(\sqrt 5  + \sqrt {{{\left( {6 - \sqrt 5 } \right)}^2}} \)

  • A \(2\)
  • B \(4\)
  • C \(6\)
  • D \(5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 5  + \sqrt {{{\left( {6 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  = \sqrt 5  + \left| {6 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5  + 6 - \sqrt 5  = 6\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Chứng minh: Giá trị của biểu thức \(A = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right).\sqrt {\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right).\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \) là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left[ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) để biến đổi và rút gọn \(A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \\\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt 2 \sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {3 - 1} \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 \sqrt 3  + 3} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - \sqrt 3  > 0} \right)\\\,\,\, = 5 - 3 = 2.\end{array}\)

Vậy \(A = 2\)  là một số nguyên.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\( \eqalign{& a)\,\,3x - 7\sqrt x  + 4  \cr & b)\,x\sqrt x  - x - 4  \cr  & c)\,3x\sqrt x  - 7x + 17\sqrt x  - 5 \cr} \)

\( \eqalign{& d)\,\,x\sqrt x  + 5x + 8\sqrt x  + 4  \cr  & e)\,\,x - \sqrt x  - 2001.2002  \cr & f)\,2x\sqrt x  + x - 5\sqrt x  - 4 \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\( \eqalign{& a)\,3x - 7\sqrt x  + 4 = 3x - 3\sqrt x  - 4\sqrt x  + 4  \cr &  = 3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  - 1} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  - 4} \right).  \cr & b)\,x\sqrt x  - x - 4 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - x - 8 + 4  \cr  &  = \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - 8} \right] - \left( {x - 4} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + \sqrt x  + 2} \right).  \cr  & c)\,3x\sqrt x  - 7x + 17\sqrt x  - 5  \cr  &  = 3x\sqrt x  - x - 6x + 2\sqrt x  + 15\sqrt x  - 5  \cr &  = x\left( {3\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x \left( {3\sqrt x  - 1} \right) + 5\left( {3\sqrt x  - 1} \right)  \cr &  = \left( {3\sqrt x  - 1} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 5} \right).  \cr} \)

\( \eqalign{& d)\,x\sqrt x  + 5x + 8\sqrt x  + 4  \cr  &  = x\sqrt x  + x + 4x + 4\sqrt x  + 4\sqrt x  + 4  \cr  &  = x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 1} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + 4\sqrt x  + 4} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right){\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2}.  \cr  & e)\,x - \sqrt x  - 2001.2002  \cr  &  = x - \sqrt x  - 2001\left( {2001 + 1} \right)  \cr &  = x - \sqrt x  - {2001^2} - 2001  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 2001} \right)\left( {\sqrt x  + 2001} \right) - \left( {\sqrt x  + 2001} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 2001} \right)\left( {\sqrt x  - 2002} \right).  \cr  & f)\,2x\sqrt x  + x - 5\sqrt x  - 4  \cr &  = 2x\sqrt x  + 2x - x - \sqrt x  - 4\sqrt x  - 4  \cr &  = 2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  + 1} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x - \sqrt x  - 4} \right). \cr}  \)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {0,{{04.30}^2}} \) bằng

  • A \(6.\)     
  • B \(0,12.\)
  • C \(12.\)   
  • D \(0,24.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) và \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {0,{{04.30}^2}}  = \sqrt {0,{2^2}{{.30}^2}}  = \sqrt {0,{2^2}} .\sqrt {{{30}^2}} \) \( = 0,2.30 = 6\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Sau khi rút gọn biểu thức \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt 5 \) có giá trị bằng:

  • A \(2\)             
  • B \( - 2\)                   
  • C \(2 - 2\sqrt 5 \)      
  • D \(2\sqrt 5  - 2\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt 5  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \sqrt 5  = \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5  =  - 2\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 2 > 0} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Với \(x < 2\) thì biểu thức \(\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2}}  + x - 3\) có giá trị bằng 

  • A \( - 1\)              
  • B \(2x - 5\)                      
  • C \(5 - 2x\)                      
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Sử dụng công thức \(\sqrt {{f^2}\left( x \right)}  = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,\,f\left( x \right) \ge 0\\ - f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) < 0\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({\left( {2 - x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2}}  + x - 3 = \left| {2 - x} \right| + x - 3\\ = 2 - x + x - 3\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\,x < 2 \Rightarrow 2 - x > 0} \right)\\ =  - 1.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Rút gọn biểu thức : \(A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }  + \frac{2}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\).

  • A \(A = \sqrt 5\)
  • B \(A = 2\sqrt 5\)
  • C \(A = \sqrt 3\)
  • D \(A = 2\sqrt 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)  và trục căn thức ở mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }  + \frac{2}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.\sqrt 3 .1 + {1^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.\sqrt 5 .1 + {1^2}}  + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{5 - 3}}\\ = \left| {\sqrt 3  + 1} \right| + \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{2}\\ = \sqrt 3  + 1 + \sqrt 5  - 1 + \sqrt 5  - \sqrt 3  = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Giá trị của biểu thức \(P = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \) là

  • A \(2\sqrt 2 \)       
  • B \( - 2\)  
  • C \(2\)      
  • D \( - 2\sqrt 2 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(P = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 2\sqrt 2  + 1}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 2\sqrt 2  + 1}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  + 1} \right| - \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right)\\ = \sqrt 2  + 1 - \sqrt 2  + 1 = 2.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Tính \(\sqrt 1  + \sqrt 4  + \sqrt 9  + \sqrt {16} \)

  • A \(10\)
  • B \(15\)
  • C \(5\)
  • D \(3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt 1  + \sqrt 4  + \sqrt 9  + \sqrt {16} \)\( = \sqrt {{1^2}}  + \sqrt {{2^2}}  + \sqrt {{3^2}}  + \sqrt {{4^2}} \)\( = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Tính giá trị biểu thức \(\frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2}} }}\)

  • A \(\frac{4}{{15}}\)
  • B \(\frac{{ - 4}}{5}\)
  • C \(\frac{4}{5}\)
  • D \( \pm \frac{4}{5}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\left| { - 2} \right| + \left| { - 4} \right| + \left| { - 6} \right|}}{{\left| { - 3} \right| + \left| { - 5} \right| + \left| { - 7} \right|}}\)\( = \frac{{2 + 4 + 6}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

So sánh \(\sqrt 3 \) và \(2.\)

  • A \(\sqrt 3  > 2\)
  • B \(\sqrt 3  < 2\)
  • C \(\sqrt 3  = 2\)
  • D \(\sqrt 3  \le 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

 Áp dụng: Với \(a,b \ge 0\), nếu \(a < b\) thì \(\sqrt a  < \sqrt b \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2 = \sqrt {{2^2}}  = \sqrt 4 \)

Vì \(3 < 4\) nên \(\sqrt 3  < \sqrt 4  = 2\)

Vậy \(\sqrt 3  < 2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)

  • A \(4\)
  • B \(0\)
  • C \(2\sqrt 3 \)
  • D \(4 - 2\sqrt 3 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 + \sqrt 3 } \right|\\ = 2 - \sqrt 3  + 2 + \sqrt 3  = 4.\,\,\,\,\left( {do\,\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Giá trị của biểu thức \(\sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \) là:

  • A \(\sqrt 2  - \sqrt 3 \)   
  • B \(2 - \sqrt 2 \)
  • C \(2\sqrt 3 \)
  • D \(2\sqrt 2 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Biến đổi \(5 - 2\sqrt 6  = {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2};\,\,7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(5 - 2\sqrt 6  = 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + 3\)\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2}\)

\(7 - 4\sqrt 3  = 4 - 2.2.\sqrt 3  + 3\)\( = {2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \\\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\, = \left| {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 - \sqrt 3 } \right|\\\,\,\, = \sqrt 3  - \sqrt 2  + 2 - \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - \sqrt 3  < 0,\,\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right)\\\,\,\, = 2 - \sqrt 2 \,.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Rút gọn các biểu thức: \(\frac{{2a\sqrt {{a^2}}  + \sqrt {\left( { - {a^2}} \right)} }}{{3a + \sqrt {{a^2}} }}\) với \(a > 0\)

  • A \(\frac{{2a + 1}}{4}\)  
  • B \(\frac{{2{a^2} - a}}{{4a}}\)
  • C \(\frac{{2a - 1}}{4}\)
  • D \(\frac{{2{a^2} + a}}{{4a}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a\sqrt {{a^2}}  + \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}{{3a + \sqrt {{a^2}} }} = \frac{{2a.\left| a \right| + \sqrt {{a^2}} }}{{3a + \left| a \right|}}\\ = \frac{{2{a^2} + a}}{{3a + a}}\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a} \right)\\ = \frac{{a\left( {2a + 1} \right)}}{{4a}} = \frac{{2a + 1}}{4}.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}}  - 3\sqrt {{a^2}}  + 2\sqrt {{b^2}} \) với \(a < 0 < b\)

  • A \( - 2a + b\)
  • B \(3b - 2a\)      
  • C \(2a + 3b\)
  • D \(a + b\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}}  - 3\sqrt {{a^2}}  + 2\sqrt {{b^2}}  = \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right|\)

Vì \(a < 0 < b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\a < 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a - b} \right| = b - a\\\left| a \right| =  - a\\\left| b \right| = b\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right| = b - a - 3\left( { - a} \right) + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = 2a + 3b.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\)  khi \(x = 3 - 2\sqrt 2 \)

  • A \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2 }}\)
  • B \(\frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 }}\)      
  • C \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}}\)
  • D \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

Tính \(\sqrt x \) thay vào biểu thức A rồi tính A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x = 3 - 2\sqrt 2 \) \( = 2 - 2.\sqrt 2 .1 + 1\)\( = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \sqrt 2  - 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right).\)

Thay \(x = \sqrt 2  - 1\) và A ta có: \(A = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1 + 1}} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2 }}\)

Chọn A.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Biểu thức \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 3} \right)}^2}}  - \sqrt 5 \) có kết quả là:

  • A \(3 + 2\sqrt 5 \)  
  • B \(3 - 2\sqrt 5 \)       
  • C \(2 - 3\sqrt 5 \)       
  • D \( - 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 3} \right)}^2}}  - \sqrt 5  = \left| {\sqrt 5  - 3} \right| - \sqrt 5  = 3 - \sqrt 5  - \sqrt 5  = 3 - 2\sqrt 5 .\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 3 < 0} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tính \(B = {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  - \sqrt 5 }  + \sqrt {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } } \right)^2}\)

  • A \(B = 4\sqrt 2 \)
  • B \(B = 4\sqrt 2  + 2\sqrt 3 \)    
  • C \(B =  - 2\sqrt 5 \)
  • D \(B = 4\sqrt 2  - 2\sqrt 5 \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  - \sqrt 5 }  + \sqrt {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } } \right)^2}\\ = {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } } \right)^2} + 2\sqrt {\left( {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}  + {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } } \right)^2}\\ = 2\sqrt 2  - \sqrt 5  + 2\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  + 2\sqrt 2  + \sqrt 5 \,\,\,\left( {do\,\,2\sqrt 2  - \sqrt 5  > 0} \right)\\ = 4\sqrt 2  + 2\sqrt {8 - 5} \\ = 4\sqrt 2  + 2\sqrt 3 .\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Rút gọn \(A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\) với \(x > 3\)

  • A \(A = \sqrt x  - 2\)      
  • B \(A = 1\)
  • C \(A =  - 1\)
  • D Kết quả khác.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Với \(x > 3\) thì biểu thức đã cho đã xác định.

Biến đổi: \(x - 1 - 2\sqrt {x - 2}  = {\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)^2}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 3\) thì biểu thức đã cho đã xác định.

\(A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\) \( = \frac{{\sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2}  + 1} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)

Với \(x > 3 \Rightarrow \sqrt {x - 2}  - 1 > 0\)\( \Rightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = \sqrt {x - 2}  - 1.\)

\( \Rightarrow A = \frac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = \frac{{\sqrt {x - 2}  - 1}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = 1.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Rút gọn \(P = \sqrt {7 + \sqrt 8  + \sqrt {12}  + \sqrt {24} } \)

  • A \(P = \sqrt 2  + \sqrt 3 \)
  • B \(P = \sqrt 2  + \sqrt 3  + 1\)
  • C \(P = \sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 4 \)
  • D Kết quả khác

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {7 + \sqrt 8  + \sqrt {12}  + \sqrt {24} } \\ = \sqrt {7 + \sqrt {4.2}  + \sqrt {4.3}  + \sqrt {4.6} } \\ = \sqrt {7 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 3  + 2\sqrt 6 } \\ = \sqrt {2 + 3 + 1 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 3  + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1} \right|\\ = \sqrt 2  + \sqrt 3  + 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1 > 0} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} }  + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \) là:

  • A \(A =  \pm 9\)
  • B \(A =  - 9\)
  • C \(A = 9\)
  • D Kết quả khác

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn về bình phương của một hiệu sau đó áp dụng công thức để đưa biểu thức ra ngoài dấu căn.

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} }  + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \\ = \sqrt {2 - 2.\sqrt 2  + 1}  + \sqrt {3 - 2.\sqrt 3 .\sqrt 2  + 2}  + \sqrt {4 - 2.2.\sqrt 3  + 3}  + ..... + \sqrt {100 - 2.\sqrt {100.99}  + 99} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + .... + \sqrt {{{\left( {\sqrt {100}  - \sqrt {99} } \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| + \left| {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right| + ... + \left| {10 - \sqrt {99} } \right|\\ = \sqrt 2  - 1 + \sqrt 3  - \sqrt 2  + \sqrt 4  - \sqrt 3  + ... + 10 - \sqrt {99} \,\,\,\left( {do\,\,\sqrt 2  - 1 > 0,.....,\,\,10 - \sqrt {99}  > 0} \right)\\ = 10 - 1 = 9.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Chọn đáp án đúng trong các đáp án sau: \(\sqrt {3x - 5\sqrt x  - 2}  = ?\)  (cho biểu thức đã xác định).

  • A \(\sqrt {\left( {3\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)} \)
  • B \(\sqrt {\left( {3\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)} \)
  • C \(\sqrt {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{3}} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)} \)
  • D \(\sqrt {\left( {\sqrt x  + \frac{1}{3}} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức ở trong căn thành nhân tử.

Lời giải chi tiết:

Với các giá trị của \(x\) để biểu thức đã cho xác định ta có:

\(\sqrt {3x - 5\sqrt x  - 2} \)\( = \sqrt {3x - 6\sqrt x  + \sqrt x  - 2} \)\( = \sqrt {3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)} \)\( = \sqrt {\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {3\sqrt x  + 1} \right)} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Giá trị lớn nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:

  • A \(10\)
  • B \(\frac{{31}}{4}\)
  • C \(\frac{{ - \sqrt {31} }}{4}\)
  • D \(\frac{{\sqrt {31} }}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) + 10} \end{array}\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Khi đó, \(A\) trở thành:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {y\left( {y + 3} \right) + 10}  = \sqrt {{y^2} + 3y + 10} \\\,\,\,\, = \sqrt {{y^2} + 2.y.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{{31}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}} \end{array}\)

Vì \({\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall y \Rightarrow {\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}  \ge \frac{{\sqrt {31} }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 3x =  - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + 9 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = \sqrt 6 \\2x + 3 =  - \sqrt 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy GTNN của \(A\) là \(\frac{{\sqrt {31} }}{2}\)  khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Với \(a > b\), biểu thức \(\dfrac{1}{{a - b}}.\sqrt {{4^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \) có kết quả rút gọn là

  • A \( - 2\).
  • B \(4.\)
  • C \(2.\)
  • D \( - 4.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

- Phá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| = \left[ \begin{array}{l}\,\,A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{a - b}}.\sqrt {{4^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left| {a - b} \right|\\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left( {a - b} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,a > b \Rightarrow a - b > 0} \right)\\ = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Thực hiện phép tính: \(5\sqrt 9  - 3\sqrt 4 .\)

  • A \(6\)
  • B \(9\)
  • C \(5\)
  • D \(8\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(5\sqrt 9  - 3\sqrt 4  = 5.3 - 3.2 = 15 - 6 = 9\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Giá tị của biểu thức \(A = 3\sqrt {80}  - 2\sqrt {20} \) bằng

  • A \(2\sqrt 5 .\)
  • B \(8\sqrt 5 .\)
  • C \(\sqrt {60} .\)
  • D \(16\sqrt 5 .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 3\sqrt {80}  - 2\sqrt {20} \) \( = 3\sqrt {{4^2}.5}  - 2\sqrt {{2^2}.5} \)\( = 3.4\sqrt 5  - 2.2\sqrt 5  = 8\sqrt 5 \)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.