35 bài tập vận dụng Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Số tự nhiên \(x\) được cho bởi : \({5^x} + {5^{x + 2}} = 650\) . Giá trị của \(x\) là

  • A \(1\)                            
  • B \(2\)                                   
  • C \(3\)                                   
  • D  \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, từ đó tìm ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{5^x} + {5^{x + 2}} = 650\\{5^x} + {5^x}{.5^2} = 650\\{5^x} + {5^x}.25 = 650\\{5^x}.\left( {1 + 25} \right) = 650\\{5^x}.26 = 650\\{5^x} = 650:26\\{5^x} = 25\\{5^x} = {5^2}\\x = 2\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Số \(100 \ldots 0\) (có \(2010\) chữ số \(0\)) viết dưới dạng lũy thừa là:

  • A \({10^{2010}}\)                 
  • B \({10^{2008}}\)       
  • C \({10^{2011}}\)                    
  • D \({10^{2009}}\) 

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa về lũy thừa cơ số \(10\) với số mũ là số chũ số \(0\).

Lời giải chi tiết:

\(\underbrace {100...0}_{2010} = {10^{2010}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Biết \({5^{x - 3}} = 25\) . Giá trị của \(x\) là: 

  • A \(1\)                                  
  • B \(5\)                                      
  • C \(3\)                           
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Biến đổi để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{5^{x - 3}} = 25\\{5^{x - 3}} = {5^2}\\x - 3 = 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + 3\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 5.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tìm các số mũ \(n\) sao cho lũy thừa \({3^n}\) thỏa mãn điều kiện: \(25 < {3^n} < 250\)

  • A \(n \in \left\{ {3;\,4;\,5} \right\}\)
  • B \(n \in \left\{ {3;\,4} \right\}\)
  • C \(n \in \left\{ {4;\,5} \right\}\)
  • D \(n \in \left\{ {2;\,3;\,4;\,5} \right\}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Ta biến đổi để đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

+ Sau đó chỉ ra rằng \({3^3}\) là lũy thừa nhỏ nhất của \(3\)  lớn hơn 25 và \({3^5}\) là lũy thừa lớn nhất của \(3\)  nhỏ hơn 250 để tìm ra số mũ \(n\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{3^2} = 9 < 25 < 27 = {3^3} \Rightarrow {3^3} \le {3^n}(1)\\{3^5} = 243 < 250 < 729 = {3^6} \Rightarrow {3^n} \le {3^5}(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\begin{array}{l}{3^3} \le {3^n} \le {3^5}\\3 \le n \le 5\end{array}\)

Vậy \(n \in \left\{ {3;\,4;\,5} \right\}.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Khi nhân \({5^4}\) với \({5^3}\) ta được:

  • A \({5^{12}}\)
  • B \({5^7}\)
  • C \({25^{12}}\)               
  • D \({25^7}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}.\,\,{a^n} = {a^{m + n}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \({5^4}.\,{5^3} = {5^{4 + 3}} = {5^7}\)

Vậy khi nhân  \({5^4}\) với \({5^3}\) ta được kết quả là \({5^7}\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 1: \({\left( {{2^3}} \right)^5}.{\left( {{2^3}} \right)^4}\)

  • A \({2^3}\)
  • B \({2^{15}}\)
  • C \({2^{12}}\)
  • D \({2^{27}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  và công thức: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{2^3}} \right)^5}.{\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.5}}{.2^{3.4}} = {2^{15}}{.2^{12}} = {2^{15 + 12}} = {2^{27}}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \({a^4}.{a^6}\)

  • A \({a^{10}}\)
  • B \({a^8}\)
  • C \({a^2}\)
  • D \({a^{12}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  và công thức: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({a^4}.{a^6} = {a^{4 + 6}} = {a^{10}}.\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: \({\left( {{a^5}} \right)^7}\,\)

  • A \({a^{12}}\)
  • B \({a^{35}}\)
  • C \({a^{15}}\)
  • D \({a^{28}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  và công thức: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{a^5}} \right)^7}\, = {a^{5.7}} = {a^{35}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 4: \({\left( {{a^3}} \right)^4}.{a^9}\)

  • A \({a^{20}}\)
  • B \({a^{21}}\)
  • C \({a^3}\)
  • D \({a^2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m},\,\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)  và công thức: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({\left( {{a^3}} \right)^4}.{a^9} = {a^{3.4}}.{a^9} = {a^{12}}.{a^9} = {a^{12 + 9}} = {a^{21}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Chọn đáp án sai:

  • A \({5^3} < {3^5}\)
  • B \({3^4} > {2^5}\)
  • C \({4^3} = {2^6}\)
  • D \({4^3} > {8^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính giá trị các lũy thừa từ đó so sánh các lũy thừa với nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì \({5^3} = 125;\,\,{3^5} = 243\) nên \({5^3} < {3^5}\) nên A đúng.

\({3^4} = 81;\,\,{2^5} = 32\) nên \({3^4} > {2^5}\) nên B đúng.

\({4^3} = 64;\,\,{2^6} = 64 \Rightarrow {4^3} = {2^6}\) nên C đúng.

\({4^3} = 64;\,\,{8^2} = 64 \Rightarrow {4^3} = {8^2}\) nên D sai.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tìm số tự nhiên \(n\)  thỏa mãn \({3^n} = 81\)

  • A \(n = 2\)
  • B \(n = 3\)
  • C \(n = 4\)
  • D \(n = 8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đưa hai vế về dạng cùng cơ số, sau đó so sánh số mũ của hai số với nhau.

\({a^m} = {a^n} \Leftrightarrow m = n.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \({3^4} = 81\) nên \({3^n} = 81 \Leftrightarrow {3^n} = {3^4} \Rightarrow n = 4\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Thực hiện các phép tính sau:

Câu 1:

\({3^7}.\,\,{27^5}.\,\,{81^3}\).

  • A \({3^{32}}\)
  • B \({3^{33}}\)
  • C \({3^{34}}\)
  • D \({3^{35}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đưa các thừa số của các tích về các lũy thừa cùng cơ số bằng cách sử dụng công thức  \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\).

Sau đó áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}.\,\,{a^n} = {a^{m + n}}\).

Lời giải chi tiết:

\({3^7}.\,\,{27^5}.\,\,{81^3} = {3^7}.\,{\left( {{3^3}} \right)^5}.{\left( {{3^4}} \right)^3}\)\( = {3^7}{.3^{15}}{.3^{12}} = {3^{7 + 15 + 12}} = {3^{34}}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({100^6}.\,\,{1000^5}.\,\,{10000^3}\).

  • A \({10^{38}}\)
  • B \({10^{39}}\)
  • C \({10^{40}}\)
  • D \({10^{41}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa các thừa số của các tích về các lũy thừa cùng cơ số bằng cách sử dụng công thức  \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\).

Sau đó áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}.\,\,{a^n} = {a^{m + n}}\).

Lời giải chi tiết:

\({100^6}.\,\,{1000^5}.\,\,{10000^3}\)\( = {\left( {{{10}^2}} \right)^6}.{\left( {{{10}^3}} \right)^5}.{\left( {{{10}^4}} \right)^3}\)\( = {10^{12}}{.10^{15}}{.10^{12}}\)\( = {10^{12 + 15 + 12}} = {10^{39}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm \(x\)  biết:

Câu 1:

\({2^x} - 15 = 17\)

  • A \(x = 0.\)
  • B \(x = 1.\)
  • C \(x = 2.\)
  • D \(x = 3.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ , nhân, chia, nâng lên lũy thừa để tìm số x chưa biết.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{2^x} - 15 = 17\\{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 17 - 15\\{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\\{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^1}\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)

Vậy \(x = 1.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\).

  • A \(x = 0.\)
  • B \(x = 1.\)
  • C \(x = 2.\)
  • D \(x = 3.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các phép toán cộng, trừ , nhân, chia, nâng lên lũy thừa để tìm số x chưa biết.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3} = 32.25 + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3} = 1000\\{\left( {7x - 11} \right)^3} = {10^3}\\\,7x - 11\,\,\,\,\,\,\, = 10\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7x\,\,\,\,\,\,\,\, = 10 + 11\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7x\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21:7\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\end{array}\).

Vậy \(x = 3.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

So sánh:

Câu 1:

\({5^{36}}\) và \({11^{24}}\)

  • A \({5^{36}} > {11^{24}}\)
  • B \({5^{36}} < {11^{24}}\)
  • C \({5^{36}} = {11^{24}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

Vì \({5^{36}} = {5^{3.12}} = {\left( {{5^3}} \right)^{12}} = {125^{12}};\)  \({11^{24}} = {11^{2.12}} = {\left( {{{11}^2}} \right)^{12}} = {121^{12}}\).

Do \(125 > 121\) nên \({125^{12}} > {121^{12}}\) hay \({5^{36}} > {11^{24}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({3^{2n}}\) và \({2^{3n}}\).

  • A \({3^{2n}} > {2^{3n}}\)
  • B \({3^{2n}} < {2^{3n}}\)
  • C \({3^{2n}} = {2^{3n}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({3^{2n}} = {\left( {{3^2}} \right)^n} = {9^n};\,\,\)\({2^{3n}} = {\left( {{2^3}} \right)^n} = {8^n}\)

Do \(9 > 8\) nên \({9^n} > {8^n}\) hay \({3^{2n}} > {2^{3n}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Tìm số tự nhiên \(n\)  thỏa mãn \({4^n} = {4^3}{.4^5}\)?

  • A \(n = 32\)
  • B \(n = 16\)
  • C \(n = 8\)
  • D \(n = 15\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\) để tính vế phải.

Sau đó so sánh số mũ của hai lũy thừa để tìm ra \(n.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({4^n} = {4^3}{.4^5} \Leftrightarrow {4^n} = {4^{3 + 5}} \Leftrightarrow {4^n} = {4^8} \Leftrightarrow n = 8\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

ìm số tự nhiên \(m\)  thỏa mãn \({20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}\)?

  • A \(m = 2020\)    
  • B \(m = 2019\)
  • C \(m = 2018\)
  • D \(m = 20\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \({a^m} < {a^k} < {a^n}\) với \(m < n\) thì \(m < k < n.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \({20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}\)\( \Rightarrow 2018 < m < 2020\)

Mà \(m\)  là số tự nhiên nên \(m = 2019\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

So sánh:

Câu 1:

\({625^5}\) và \({125^7}\)      

  • A \({625^5} < {125^7}\)
  • B \({625^5} > {125^7}\)
  • C \({625^5} = {125^7}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ hoặc so sánh với số trung gian, từ đó so sánh các lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({625^5} = {\left( {{5^4}} \right)^5} = {5^{4.5}} = {5^{20}};\,\)\({125^7} = {\left( {{5^3}} \right)^7} = {5^{3.7}} = {5^{21}}\)

Do \(20 < 21 \Rightarrow {5^{20}} < {5^{21}}\)\( \Rightarrow {625^5} < {125^7}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({5^{23}}\) và \({6.5^{22}}\)

  • A \({5^{23}} < {6.5^{22}}\)
  • B \({5^{23}} > {6.5^{22}}\)
  • C \({5^{23}} = {6.5^{22}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ hoặc so sánh với số trung gian, từ đó so sánh các lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({5^{23}} = {5.5^{22}}\)

\( \Rightarrow {6.5^{22}} > {5.5^{22}} \Rightarrow {6.5^{22}} > {5^{23}}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tính tổng \(A = 1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}\).

  • A \(A = {3^{101}} + 1\)
  • B \(A = {3^{101}} - 1\)
  • C \(A = \left( {{3^{101}} + 1} \right):2\)
  • D \(A = \left( {{3^{101}} - 1} \right):2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của A với 3, thực hiện nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

Biến đổi vế phải sao cho xuất hiện biểu thức A. Từ đó tìm được A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}\\ \Rightarrow 3A = 3.\left( {1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\\ \Rightarrow 3A = 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}} + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A = \left( {1 + 3 + {3^2} +  \ldots  + {3^{99}} + {3^{100}}} \right) - 1 + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A = A - 1 + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3A - A = {3^{101}} - 1\\ \Rightarrow 2A = {3^{101}} - 1\\ \Rightarrow A = \left( {{3^{101}} - 1} \right):2\end{array}\)

Vậy \(A = \left( {{3^{101}} - 1} \right):2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tìm \(x\):

\(a)\,\,\,\,{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\)

\(b)\,\,\,\,\,{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\)

  • A a)\(4\)

    b)\(5\)

  • B a)\(3\)

    b)\(4\)

  • C a)\(-3\)

    b)\(-4\)

  • D a)\(3,5\)

    b)\(4,5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Để tìm \(x\) nằm trong một lũy thừa thỏa mãn một đẳng thức, ta sử dụng đinh nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên, công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số để biến đổi đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{a)}}{\rm{ }}{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 32.25 + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 800 + 200\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = 1000\\{\left( {7x - 11} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\, = {10^3}\\7x - 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10\\7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10 + 11\\7x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21:7\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\rm{b)}}{\rm{ }}{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - \left( {{6^{8 - 6}} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - \left( {{6^2} - {6^2}} \right)\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 - 0\\{5^{x - 2}} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 16 + 9\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 25\\{5^{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {5^2}\\x - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + 2\\x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Kết quả của phép tính: \({7^6}:{7^2}\) là:

  • A \({49^3}\)  
  • B 1
  • C \({7^4}\)
  • D \({7^8}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n\,\,\,}}(a \ne 0;\,\,m \ge n)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({7^6}:{7^2} = {7^{6 - 2}} = {7^4}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Tìm \(x\) biết:

\(a)\,\,x + 6 = {4^5}:{4^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{3^2}.(15 - 2x) - {5^2} = {5.2^2}\)

  • A \(\begin{array}{l}a)\,\,x = 10\\b)\,\,x = 5\end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}a)\,\,x = 16\\b)\,\,x = 10\end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}a)\,\,x =  - 10\\b)\,\,x =  - 5\end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}a)\,\,x = 6\\b)\,\,x = 15\end{array}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n\,\,\,}}(a \ne 0;\,\,m \ge n)\).

Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,x + 6 = {4^5}:{4^3}\,\\\,\,\,\,\,\,\,x + 6 = {4^2}\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x + 6 = 16\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x\;\;\;\;\;\; = 16 - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,x\;\;\;\;\;\; = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,{3^2}.(15 - 2x) - {5^2} = {5.2^2}\\\;\;\;9.(15 - 2x) - 25 = 5.4\\\;\;\;9.(15 - 2x) - 25 = 20\\\;\;\;9.(15 - 2x) = 20 + 25\\\;\;\;9.(15 - 2x) = 45\\\;\;\;\;\;\;\;15 - 2x = 45:9\\\;\;\;\;\;\;\;15 - 2x = 5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2x = 15 - 5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2x = 10\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 10:2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 5\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tìm \(x \in \mathbb{N},\) biết:

Câu 1: \({3^x}.3 = 243\)

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = 2\)
  • C \(x = 3\)
  • D \(x = 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^x} = {a^m} \Leftrightarrow x = m.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{3^x}.3 = 243\\\,\,\,\,\,\,\,{3^x}\,\,\,\,\,\, = 243:3\\\,\,\,\,\,\,\,{3^x}\,\,\,\,\,\, = 81\\\,\,\,\,\,\,\,{3^x}\,\,\,\,\,\, = {3^4}\\\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\, = 4.\end{array}\)

   Vậy \(x = 4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \({2^x}{.16^2} = 1024\)

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = 2\)
  • C \(x = 3\)
  • D \(x = 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^x} = {a^m} \Leftrightarrow x = m.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{2^x}{.16^2} = 1024\\\,\,\,\,{2^x}.{\left( {{2^4}} \right)^2} = {2^{10}}\\\,\,\,\,\,\,{2^x}{.2^8}\,\,\,\,\,\,\, = {2^{10}}\\\,\,\,\,\,\,{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^{10 - 8}}\\\,\,\,\,\,\,{2^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^2}\\\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

Vậy \(x = 2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: \({64.4^x} = {16^8}\)

  • A \(x = 10\)
  • B \(x = 11\)
  • C \(x = 12\)
  • D \(x = 13\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^x} = {a^m} \Leftrightarrow x = m.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{64.4^x} = {16^8}\\\,\,\,\,\,\,\,{4^3}{.4^x}\,\, = {\left( {{4^2}} \right)^8}\\\,\,\,\,\,\,\,{4^4}{.4^x} = {4^{16}}\\\,\,\,\,\,\,\,{4^{3 + x}} = {4^{16}}\\\,\,\,\,\,\,\,3 + x = 16\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 16 - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 13.\end{array}\)

Vậy \(x = 13.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 4: \({2^x} = 16\)

  • A \(x = 1\)
  • B \(x = 2\)
  • C \(x = 3\)
  • D \(x = 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({a^x} = {a^m} \Leftrightarrow x = m.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{2^x} = 16\\{2^x} = {2^4}\\\,\,x = 4.\end{array}\)

Vậy \(x = 4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Không tính trực tiếp hãy so sánh: \({202^{303}}\) và \({303^{202}}\)

  • A \({303^{202}} > {202^{303}}.\)
  • B \({303^{202}} < {202^{303}}\)
  • C \({303^{202}} = {202^{303}}.\)
  • D Không so sánh được.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc để biến đổi hai lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ và sử dụng quy tắc:

+) Nếu \(n < m\) thì \({a^n} < {a^m}\left( {a > 1;m,n \in \mathbb{N}} \right)\)

+) Nếu \(a < b\) thì  \({a^n} < {b^n}\left( {a,b \in \mathbb{N},n\in\mathbb{N}^{*}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}\)

Ta so sánh \({202^3}\) và \({303^2}\)

\(\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}\)

Vì \(9 < 808\) nên \({9.101^2} < {808.101^2}\) hay \({303^2} < {202^3}\)

Do đó \({\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\)

Vậy \({303^{202}} < {202^{303}}.\) 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Không tính trực tiếp hãy so sánh:

a)\({2^{300}}\) và \({3^{200}}\)                                                         b)\({202^{303}}\) và \({303^{202}}\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,{2^{300}} > {3^{200}}\\
    b)\,\,{303^{202}} > {202^{303}}
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,{2^{300}} < {3^{200}}\\
    b)\,\,{303^{202}} > {202^{303}}
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,{2^{300}} > {3^{200}}\\
    b)\,\,{303^{202}} < {202^{303}}
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,{2^{300}} < {3^{200}}\\
    b)\,\,{303^{202}} < {202^{303}}
    \end{array}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc để biến đổi hai lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ và sử dụng quy tắc:

+ Nếu \(n < m\) thì \({a^n} < {a^m}\left( {a > 1;m,n \in N} \right)\)

+ Nếu \(a < b\) thì \({a^n} < {b^n}\left( {a,b \in N;n \in {N^*}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{300}} = {2^{3.100}} = {\left( {{2^3}} \right)^{100}} = {8^{100}}\\{3^{200}} = {3^{2.100}} = {\left( {{3^2}} \right)^{100}} = {9^{100}}\end{array}\)

Vì \({8^{100}} < {9^{100}}\)  nên \({2^{300}} < {3^{200}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}\)

Ta so sánh \({202^3}\) và \({303^2}\)

\(\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}\)

Vì \(9 < 808\) nên \({9.101^2} < {808.101^2}\) hay \({303^2} < {202^3}\)

Do đó \({\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\)

Vậy \({303^{202}} < {202^{303}}\) .

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

So sánh các số và các tích sau:

Câu 1:

\({5^{23}}\) và \({6.5^{22}}\)

  • A \({5^{23}} = {6.5^{22}}.\)
  • B \({5^{23}} > {6.5^{22}}.\)
  • C \({5^{23}} < {6.5^{22}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({5^{23}}\) và \({6.5^{22}}\)

Ta có: \({5^{23}} = {5^{1 + 22}} = {5.5^{22}}.\)

Vì \(5 < 6 \Rightarrow {5.5^{22}} < {6.5^{22}}.\)

Vậy \({5^{23}} < {6.5^{22}}.\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({7.2^{13}}\) và \({2^{16}}\)

  • A \({7.2^{13}} > {2^{16}}.\)
  • B \({7.2^{13}} < {2^{16}}.\)
  • C \({7.2^{13}} = {2^{16}}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({7.2^{13}}\) và \({2^{16}}\)

Ta có: \({2^{16}} = {2^{3 + 13}} = {2^3}{.2^{13}} = {8.2^{13}}.\)

Vì \(7 < 8 \Rightarrow {7.2^{13}} < {8.2^{13}}.\)

Vậy\({7.2^{13}} < {2^{16}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

\({21^{15}}\) và \({27^5}{.49^8}.\) 

  • A \({21^{15}} > {27^5}{.49^8}.\)
  • B \({21^{15}} < {27^5}{.49^8}.\)
  • C \({21^{15}} = {27^5}{.49^8}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({21^{15}}\) và \({27^5}{.49^8}.\) 

Ta có: \({27^5}{.49^8} = {\left( {{3^3}} \right)^5}.{\left( {{7^2}} \right)^8} = {3^{15}}{.7^{16}} = {3^{15}}{.7^{15}}.7 = {21^{15}}.7.\)

Vì \(1 < 7 \Rightarrow {21^{15}} < {7.21^{15}}.\)

Vậy \({21^{15}} < {27^5}{.49^8}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

So sánh các số sau:

Câu 1: \({2^7}\) và \({7^2}\)

  • A \({2^7} > {7^2}.\)
  • B \({2^7} < {7^2}.\)
  • C \({2^7} = {7^2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({2^7}\) và \({7^2}\)

Ta có:  \({2^7} = {2^{6 + 1}} = {2.2^6} = 2.{\left( {{2^3}} \right)^2} = {2.8^2}\)

Vì \(8 > 7 \Rightarrow {8^2} > {7^2} \Rightarrow {2.8^2} > {7^2}.\)

Vậy \({2^7} > {7^2}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \({31^{31}}\) và \({17^{39}}.\)

  • A \({31^{31}} > {17^{39}}.\)
  • B \({31^{31}} < {17^{39}}.\)
  • C \({31^{31}} = {17^{39}}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({31^{31}}\) và \({17^{39}}.\)

Ta có: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{31^{31}} < {32^{31}} = {\left( {{2^5}} \right)^{31}} = {2^{5.31}} = {2^{155}}\\{17^{39}} > {16^{39}} = {\left( {{2^4}} \right)^{39}} = {2^{4.39}} = {2^{156}}\end{array} \right..\)

Vì \(155 < 156\) nên \({2^{155}} < {2^{156}}.\)

\( \Rightarrow {31^{31}} < {2^{155}} < {2^{156}} < {17^{39}}.\)

Vậy \({31^{31}} < {17^{39}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

So sánh các lũy thừa sau:

Câu 1: \({9^5}\) và \({27^3}\)

  • A \({9^5} > {27^3}.\)
  • B \({9^5} < {27^3}.\)
  • C \({9^5} = {27^3}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({9^5}\) và \({27^3}\)       

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{9^5} = {\left( {{3^2}} \right)^5} = {3^{2.5}} = {3^{10}}\\{27^3} = {\left( {{3^3}} \right)^3} = {3^{3.3}} = {3^9}\end{array} \right..\)

Vì \(10 > 9 \Rightarrow {3^{10}} > {3^9}.\)

Vậy \({9^5} > {27^3}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \({3^{21}}\) và \({2^{31}}.\)

  • A \({3^{21}} = {2^{31}}.\)
  • B \({3^{21}} < {2^{31}}.\)
  • C \({3^{21}} > {2^{31}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 1: Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\,\,\,\left( {a > 1} \right).\)

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

Lời giải chi tiết:

\({3^{21}}\) và \({2^{31}}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{3^{21}} = {3^{20 + 1}} = {3.3^{20}} = 3.{\left( {{3^2}} \right)^{10}} = {3.9^{10}}\\{2^{31}} = {2^{30 + 1}} = {2.2^{30}} = 2.{\left( {{2^3}} \right)^{10}} = {2.8^{10}}\end{array} \right..\)

Vì  \(9 > 8 \Rightarrow {9^{10}} > {8^{10}} \Rightarrow {3.9^{10}}{2.8^{10}}.\)

Vậy \({3^{21}} > {2^{31}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

So sánh các lũy thừa sau:

Câu 1: \({11^{1979}}\) và \({37^{1320}}\)

  • A \({11^{1979}} > {37^{1320}}.\)
  • B \({11^{1979}} < {37^{1320}}.\)
  • C \({11^{1979}} = {37^{1320}}.\)
  • D Không so sánh được.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

+) Phương pháp 4: Nếu \(a < b,\,\,b < c\) thì \(a < c.\)

Lời giải chi tiết:

\({11^{1979}}\) và \({37^{1320}}\)                               

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{11^{1979}} < {11^{1980}} = {\left( {{{11}^3}} \right)^{660}} = {1331^{660}}\\{37^{1320}} = {\left( {{{37}^2}} \right)^{660}} = {1369^{660}}\end{array} \right.\)

Vì \(1331 < 1369\) nên \({1331^{660}} < {1369^{660}} \Rightarrow {11^{1979}} < {1331^{660}} < {1369^{660}}.\)

Vậy \({11^{1979}} < {37^{1320}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: \({3^{39}}\) và \({11^{21}}.\) 

  • A \({3^{39}} > {11^{21}}\)
  • B \({3^{39}} < {11^{21}}\)
  • C \({3^{39}}=  {11^{21}}\)
  • D Không so sánh được.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Phương pháp 2: Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\,\,\,\left( {m \ne 0} \right).\)

+) Phương pháp 3: Nếu \(a > b,\,\,\,c > 0\) thì \(ac > bc.\)

+) Phương pháp 4: Nếu \(a < b,\,\,b < c\) thì \(a < c.\)

Lời giải chi tiết:

\({3^{39}}\) và \({11^{21}}.\)

Ta có: \({3^{39}} < {3^{40}} = {\left( {{3^2}} \right)^{20}} = {9^{20}}.\)

Vì \(9 < 11 \Rightarrow {9^{20}} < {11^{21}}.\)

Vậy \({3^{39}} < {11^{21}}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

So sánh các hiệu sau:  \({72^{45}} - {72^{44}}\)  và \({72^{44}} - {72^{43}}.\)

  • A \({72^{45}} - {72^{44}} > {72^{44}} - {72^{43}}.\)
  • B \({72^{45}} - {72^{44}} < {72^{44}} - {72^{43}}.\)
  • C \({72^{45}} - {72^{44}} = {72^{44}} - {72^{43}}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Biến đổi, tính các hiệu sau đó so sánh các hiệu với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{72^{45}} - {72^{44}} = {72^{44}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{44}}.71\\{72^{44}} - {72^{43}} = {72^{43}}\left( {72 - 1} \right) = {72^{43}}.71\end{array} \right..\)

Vì \(44 > 43\) nên \({72^{44}}.71 > {72^{43}}.71.\)

Vậy \({72^{45}} - {72^{44}} > {72^{44}} - {72^{43}}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho tổng: \(S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^8} + {2^9}.\)  Hãy so sánh tổng \(S\) với \({5.2^8}.\) 

  • A \(S > {5.2^8}.\)
  • B \(S < {5.2^8}.\)
  • C \(S = {5.2^8}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính tổng \(S\) sau đó so sánh tổng \(S\) với \({5.2^8}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^8} + {2^9}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2S = 2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^8} + {2^9} + {2^{10}}.\\ \Rightarrow 2S - S = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^8} + {2^9} + {2^{10}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^8} + {2^9}} \right)\\ \Rightarrow S\,\, = {2^{10}} - 1.\end{array}\)

Ta có: \({2^{10}} = {2^{2 + 8}} = {2^4}{.2^8} = {4.2^8} < {5.2^8}\)

\( \Rightarrow {2^{10}} - 1 < {5.2^8}.\)

Vậy \(S < {5.2^8}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho \(A = {2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}\) và \(B = {2^{2019}}\).

Chứng minh rằng \(A\) và \(B\) là \(2\) số tự nhiên liên tiếp.

Phương pháp giải:

- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau \(1\) đơn vị.

- Tính giá trị biểu thức \(A\) bằng cách nhân thêm \(2\) vào biểu thức \(A\), sau đó tính \(2A - A\) để tìm \(A\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(A = {2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}} \right)\\ \Rightarrow \,\,2.A = {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {{2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}}} \right) - \left( {{2^0} + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2018}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^1} + {2^2} + ... + {2^{2019}} - {2^0} - {2^1} - {2^2} - ... - {2^{2018}}\\ \Rightarrow A = {2^{2019}} - {2^0}\\ \Rightarrow A = {2^{2019}} - 1\end{array}\)

Mà:  \({2^{2019}} - 1\) và \({2^{2019}}\) là hai số tự nhiên liên tiếp.

Vậy \(A\) và \(B\) là hai số tự nhiên liên tiếp.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm số tự nhiên \(n\), biết \({2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\)

  • A \(n = 99\)
  • B \(n = 100\)
  • C \(n = 101\)
  • D \(n = 102\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biến đổi:

 \(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Tính giá trị biểu thức \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\), sau đó dựa vào kết quả để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Đặt \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right) = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}}\\ \Rightarrow A = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Suy ra \({2^n} - 1 = {2^{101}} - 1\) . Do đó \(n = 101\) .

Vậy \(n = 101.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho \(A = 1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}\). Tính A.

  • A \(A = {2^{2008}}\)
  • B \(A = {2^{2008}} + 1\)
  • C \(A = {2^{2008}} - 1\)
  • D \(A = {2^{2009}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của A với 2. Tính toán và tìm A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}\\ \Rightarrow 2A = 2.\left( {1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}} \right)\\ \Rightarrow 2A = {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}} + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A = \left( {1 + {2^1} + {2^2} +  \ldots  + {2^{2007}}} \right) - 1 + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A = A - 1 + {2^{2008}}\\ \Rightarrow 2A - A = {2^{2008}} - 1\\ \Rightarrow A = {2^{2008}} - 1.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Chứng tỏ tổng sau là số chính phương \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\) là một số chính phương.

Phương pháp giải:

Tính tổng trên sau đó chỉ ra tổng đó viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên khác 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\\ = 1 + 2.2.2 + 3.3.3 + 4.4.4\\ = 1 + 8 + 27 + 64\\ = 100 = {10^2}\end{array}\)

Do tổng \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\) viết được dưới dạng bình phương của 10 nên \({1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3}\) là số chính phương.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

So sánh hai lũy thừa: \({{199}^{20}}\) và \({{2017}^{15}}\)

  • A \({{199}^{20}}\) > \({{2017}^{15}}\)
  • B \({{199}^{20}}\) < \({{2017}^{15}}\)
  • C \({{199}^{20}}\) = \({{2017}^{15}}\)
  • D Không so sánh được 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp với số trung gian.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({{199}^{20}}<{{200}^{20}}\,\,\,;\,\,\,\,{{2000}^{15}}<\,\,{{2017}^{15}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

So sánh \({{200}^{20}}\) và \({{2000}^{15}}\) ta có :

\(\begin{align}  & {{200}^{20}}\,={{200}^{15}}\,.\,\,{{200}^{5}}\,\,; \\  & {{2000}^{15}}={{(200.10)}^{15}}={{200}^{15}}{{.10}^{15}}={{200}^{15}}{{.10}^{3.5}}={{200}^{15}}.{{\left( {{10}^{3}} \right)}^{5}}={{200}^{15}}{{.1000}^{5}} \\ \end{align}\)

Mà \({{200}^{5}}<{{1000}^{5}}\) nên \({{200}^{15}}\,.\,\,{{200}^{5}}\,\,<\,\,\,{{200}^{15}}\,.\,\,{{1000}^{5}}\,\,\)

Do đó \({{200}^{20}}\,<\,\,{{2000}^{15}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Chọn B                                    

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Gọi \(x\) là các số có \(9\)  chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh \(x\) với \({10.9^8}.\)

  • A \(x > {10.9^8}.\)
  • B \(x < {10.9^8}.\)
  • C \(x = {10.9^8}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định số \(x\) sau đó so sánh \(x\) với \({10.9^8}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có \(x\) là số có \(9\)  chữ số và trong số đó không có chữ số \(0.\)

Gọi số có \(9\) chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}.....{a_9}} \,\,\left( {{a_i} \ne 0,\,\,\,i = 1;\,\,2;....;\,9} \right).\)

Ta có: \({a_1}\) có \(9\) cách chọn.

 \({a_2}\) có \(9\) cách chọn.

…….

\({a_9}\) có \(9\) cách chọn.

Như vậy \(x = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = {9^9}.\)

Ta có: \({9^9} = {9.9^8} < {10.9^8}.\)

Vậy \(x < {10.9^8}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tìm \(x \in \mathbb{N}\) biết:

Câu 1:

\({16^x} < {128^4}\)

  • A \(x < 4.\)
  • B \(x < 5.\)
  • C \(x < 6.\)
  • D \(x < 7.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của lũy thừa để tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{16^x} < {128^4}\\\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^4}} \right)^x} < {\left( {{2^7}} \right)^4}\\\,\,\,\,\,\,\,{2^{4x}}\,\,\,\, < {2^{7.4}}\\ \Rightarrow 4x < 7.4\\ \Rightarrow x < 7.\end{array}\)

Vậy \(x < 7.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({1^3} + {2^3} + .... + {10^3} = {\left( {x + 1} \right)^2}\)

  • A \(x = 52.\)
  • B \(x = 53.\)
  • C \(x = 54.\)
  • D \(x = 55.\)        

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của lũy thừa để tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ..... + {10^3} = {\left( {x + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,{\left( {1 + 2 + 3 + .... + 10} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{{10.\left( {10 + 1} \right)}}{2}} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,{55^2}\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,x + 1 = 55\\\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 55 - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 54.\end{array}\)

Vậy \(x = 54.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

\(1 + 3 + 5 + .... + 99 = {\left( {x - 2} \right)^2}.\)         

  • A \(x = 50.\)
  • B \(x = 51.\)
  • C \(x = 52.\)
  • D \(x = 53.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của lũy thừa để tìm \(x.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
c)\,\,\,1 + 3 + 5 + ..... + {99^2} = {\left( {x - 2} \right)^2}\\
\,\,\,\,\,\,\left( {\frac{{99 - 1}}{2} + 1} \right)\frac{{\left( {99 + 1} \right)}}{2} = {\left( {x - 2} \right)^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,{50^2}\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x - 2} \right)^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,x - 2 = 50\\
\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 50 + 2\\
\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 52.
\end{array}\)

Vậy \(x = 52.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

So sánh:

Câu 1:

\({199^{20}}\) và \({2003^{15}}\)

  • A \({199^{20}} > {2003^{15}}\)
  • B \({199^{20}} < {2003^{15}}\)
  • C \({199^{20}} = {2003^{15}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

So sánh các số đã cho với một số trung gian khác.

Từ đó so sánh được 2 số ban đầu với nhau.

Sử dụng các công thức lũy thừa: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};\) \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\,\) \({\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}.\)

Lời giải chi tiết:

\({199^{20}}\)\({2003^{15}}\)

Ta có: \({199^{20}} < {200^{20}} = {\left( {8.25} \right)^{20}}\) \( = {\left( {{2^3}{{.5}^2}} \right)^{20}} = {2^{60}}{.5^{40}}\)

           \({2003^{15}} > {2000^{15}} = {\left( {16.125} \right)^{15}}\)\( = {\left( {{2^4}{{.5}^3}} \right)^{15}} = {2^{60}}{.5^{45}}\)

 Vì \({2^{60}}{.5^{45}} > {2^{60}}{.5^{40}}\)nên \({2003^{15}} > {199^{20}}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\({3^{39}}\) và \({11^{21}}\).

  • A \({3^{39}} > {11^{21}}\)
  • B \({3^{39}} < {11^{21}}\)
  • C \({3^{39}} = {11^{21}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

So sánh các số đã cho với một số trung gian khác.

Từ đó so sánh được 2 số ban đầu với nhau.

Sử dụng các công thức lũy thừa: \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};\) \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};\,\) \({\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}.\)

Lời giải chi tiết:

\({3^{99}}\)\({11^{21}}\)

Ta có: \({3^{39}} < {3^{40}} = {\left( {{3^4}} \right)^{10}} = {81^{10}},\,\,\)\(\,{11^{21}} > {11^{20}} = {\left( {{{11}^2}} \right)^{10}} = {121^{10}}\)

Vì \({121^{10}} > {81^{10}} \Rightarrow {11^{21}} > {3^{99}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.