Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu \(a,b,x\in Z\) và \(a=b.x\) thì \(a\vdots b\)và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

Bội của 5 là số 0 và những số nguyên có hàng đơn vị là 0 và 5.

Các bội của 5 là: \(0;\ \,5;\,-5;\,\ 10;\,-10;\,...\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu \(a,b,x\in Z\) và \(a=b.x\) thì \(a\vdots b\)và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-6=-1.6=1.\left( -6 \right)=-2.3=2.\left( -3 \right).\)

Tập hợp các ước của -6 là:  \(A=\left\{ 1;\,-1;\ \,2;\,-2;\,\ 3;\,-3;\,\ 6;\,-6 \right\}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên: \(a\vdots m;b\vdots m\Rightarrow (a+b)\vdots m\)

Lời giải chi tiết:

Vì  \(-258\)  có tổng các chữ số là \(2+5+8=15\vdots 3\) nên \(-258\vdots 3\) .

Do đó để \(\left( -258+x \right)\vdots 3\) thì \(x\vdots 3\).

Chọn B

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để tìm ước của -12 và ước của 30

+ Sử dụng tính chất sau để tìm ước chung của chúng:

Nếu c vừa là ước của a vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Lời giải chi tiết:

Tập hợp các ước của -12 và 30 là:

\(\begin{align}  & U\left( -12 \right)=\left\{ \pm 1;\,\ \pm 2;\ \,\pm 3;\,\ \pm 4;\ \,\pm 6;\ \,\pm 12 \right\} \\  & U\left( 30 \right)=\left\{ \pm 1;\,\ \pm 2;\ \,\pm 3;\,\ \pm 5;\,\ \pm 6;\,\ \pm 10;\,\ \pm 15;\ \,\pm 30 \right\} \\ \end{align}\)

Suy ra tập hợp các ước chung của -12 và 30 là: \(UC\left( -12;\,30 \right)=\left\{ \pm 1;\,\pm 2;\,\pm 3;\,\,\pm 6 \right\}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa ước của một số: Nếu \(a \vdots b\) thì b là ước của a.

Lời giải chi tiết:

  \(U(8)= \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định ước chung thông qua UCLN (Đưa về số nguyên dương)

Lời giải chi tiết:

Ước chung của \( - 24\) và \(30\) là ước của \(UCLN\left( {24;\,\,30} \right) = 6\).

\( \Rightarrow UC\left( { - 24;30} \right) = U\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 3;\,\, \pm 6} \right\}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 7

+ Lập bảng giá trị để tìm x

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\left( x+9 \right)\in U\left( 7 \right)\Rightarrow \left( x+9 \right)\in \left\{ -7;\,-1;\,7;\,1 \right\}\)

Xét bảng:

Vậy \(x\in \left\{ -16;\,-10;\,-8;\,-2 \right\}\) . 

Chọn B

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của -3

+ Lập bảng giá trị để tìm cặp giá trị \(\left( x;\,y \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x.y=-3\)

Mà \(x,\,y\in \mathbb{Z}\) nên \(x;\,y\in U\left( -3 \right)=\left\{ -3;\,-1;\,\ 1;\,\ 3 \right\}\) .

Xét bảng:

Vậy ta có các cặp giá trị \(\left( x;\,y \right)\) là: \(\left( 1;-3 \right);\,\left( -3;\,1 \right);\,\left( -1;\,3 \right);\,\left( 3;\,-1 \right)\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để chứng minh:

Nếu \(a,b,x\in Z\) và \(a=b.x\) thì \(a\vdots b\) và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

a) Vì a là bội của b nên \(a=b.x,\,\left( x\in \mathbb{Z} \right)\) .

Suy ra \(-a=-\left( b.x \right)=b.\left( -x \right)\) .

Mà \(x\in \mathbb{Z}\) suy ra \(-x\in \mathbb{Z}\) , suy ra \(\left( -a \right)\vdots b\) hay \(-a\) là bội của b.

b) Vì b là ước của a nên \(a=b.x,\,\left( x\in \mathbb{Z} \right)\).

Suy ra \(a=\left( -b \right).\left( -x \right)\) .

Mà \(x\in \mathbb{Z}\) suy ra \(-x\in \mathbb{Z}\) , suy ra \(a\vdots \left( -b \right)\) hay –b là ước của a.

Phương pháp giải:

a) + Tách \(x-5=\left( x+2 \right)-7\), sử dụng tính chất chia hết của một tổng suy ra x+2 thuộc ước của 7

+ Tìm ước của 7 rồi lập bảng ta tính được giá trị của x

b) + Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để suy ra 2x+1 và y-3 là ước của -10

+ Tìm ước của -10

+ Sử dụng tính chất chia hết để loại bớt các trường hợp

+ Lập bảng giá trị để tìm các cặp giá trị \(\left( x;\,y \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) \(x-5\)  là bội của \(x+2\)

Ta có: \(\left( x+2 \right)\ \vdots \ \left( x+2 \right).\)

Lại có: \(x-5=\left( x+2 \right)-7\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \left( x-5 \right)\ \vdots \ \left( x+2 \right)\Leftrightarrow 7\ \vdots \ \left( x+2 \right). \\  & \Rightarrow \left( x+2 \right)\in \ U\left( 7 \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\in \left\{ \pm 1;\ \pm 7 \right\}. \\ \end{align}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x\in \left\{ -9;\,-3;\,-1;\,5 \right\}\)

b)\(\left( 2x+1 \right)\left( y-3 \right)=-10\)

Vì \(x;\,y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left( 2x+1 \right);\,\left( y-3 \right)\in \mathbb{Z}\) mà \(\left( 2x+1 \right)\left( y-3 \right)=-10\)

\(\Rightarrow \left( 2x+1 \right);\left( y-3 \right)\in U\left( -10 \right)\)

Mà \(U\left( -10 \right)=\left\{ \pm 1;\ \pm 2;\,\pm 5;\,\pm 10 \right\}\)

Ta có: \(2x\ \vdots \ 2\Rightarrow \left( 2x+1 \right)\ \) không chia hết cho \(2\Rightarrow \left( 2x+1 \right)\in \left\{ \pm 1;\ \pm 5 \right\}.\)

Ta có bảng:

Vậy ta có các cặp giá trị \(\left( x;\,y \right)\) là: \(\left( -1;\,13 \right);\left( 0;\,-7 \right);\left( -3;\,5 \right);\left( 2;\,1 \right)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 5.

+ Lập bảng giá trị để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( x+1 \right)\in U\left( 5 \right)\Rightarrow \left( x+1 \right)\in \left\{ -5;\,-1;\ \,1;\,\ 5 \right\}.\)

Xét bảng:

Vậy \(x\in \left\{ 0;\,4;\,-2;\,-6 \right\}\) .

Chọn A

Phương pháp giải:

Ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Áp dụng \(a \vdots b \Rightarrow ka \vdots b\,\)(với \(\forall k \in \mathbb{Z}\))

Lời giải chi tiết:

a) Với \(a \in \mathbb{Z}\) ta có:

\(M = a\left( {a + 2} \right) - a\left( {a - 5} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a.a + a.2} \right) - \left( {a.a - a.5} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {{a^2} - 5a} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 2a - {a^2} + 5a - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {2a + 5a} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 7a - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 7\left( {a - 1} \right)\)

Vì \(7 \vdots 7 \Rightarrow 7\left( {a - 1} \right) \vdots 7 \Rightarrow M \vdots 7 \Rightarrow M\)là bội của \(7\).

b) Để chứng minh \(N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)\) là số chẵn, ta chứng minh \(N \vdots 2\) với \(a \in \mathbb{Z}\).

\(N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left[ {a\left( {a + 3} \right) - 2\left( {a + 3} \right)} \right] - \left[ {a\left( {a + 2} \right) - 3\left( {a + 2} \right)} \right]\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {{a^2} + 3a} \right) - \left( {2a + 6} \right)} \right] - \left[ {\left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {3a + 6} \right)} \right]\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 3a - 2a - 6} \right) - \left( {{a^2} + 2a - 3a - 6} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 3a - 2a - 6 - {a^2} - 2a + 3a + 6\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {3a - 2a - 2a + 3a} \right) + \left( {6 - 6} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = 2a\)

Vì \(2 \vdots 2 \Rightarrow 2a \vdots 2 \Rightarrow N \vdots 2\) suy ra \(N\) là số chẵn.

Phương pháp giải:

Điều kiện để  phân số \(\frac{A}{B}\) là số nguyên là \(A\,\, \vdots \,\,B\).

Lời giải chi tiết:

Để phân số \(\frac{{2x + 1}}{{3x - 1}}\) có giá trị nguyên thì \(\left( {3x - 1} \right)\) là ước của \(\left( {2x + 1} \right)\) tức là \(\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3x - 1} \right)\).

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}2x + 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\\3x - 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\\2.\left( {3x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 3\,\, \vdots \,\,3x - 1\\6x - 2\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {6x + 3} \right) - \left( {6x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 6x + 3 - 6x + 2\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 5\,\, \vdots \,\,3x - 1\)

\( \Rightarrow 3x - 1 \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}\)

\( \Rightarrow 3x \in \left\{ { - 4;\,\,0;\,\,2;\,\,4} \right\}\)\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{ - 4}}{3};\,\,0;\,\,\frac{2}{3};\,\,4} \right\}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn)

Vậy \(x = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Rút gọn biểu thức

- Tìm số ước:

+ Phân tích ra thừa só nguyên tố \(A = {a^x}.{b^y}.{c^z}...\)

+ Số ước là\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)...\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 \ldots  - 99 - 100\)

\(\,\,\,\,\, = \left( {1 + 2 - 3 - 4} \right) + \left( {4 + 6 - 7 - 8} \right) +  \ldots  + \left( {97 + 98 - 99 - 100} \right)\)

\(\,\,\,\,\, = \left( { - 4} \right) + \left( { - 4} \right) +  \ldots  + \left( { - 4} \right)\)

\(\,\,\,\,\, = 25.\left( { - 4} \right)\)

\(\,\,\,\,\, =  - 100\)

Suy ra, \(A\) chia hết cho \(2\) và \(5\) nhưng không chia hết cho \(3\).

b) Xét \(100 = {2^2}{.5^2} \Rightarrow \)\(100\) có tất cả \(\left( {2 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 9\) ước.

\( \Rightarrow \)\(A\) có \(9\) ước tự nhiên và \(18\) ước nguyên.

Phương pháp giải:

+ Biến đổi để tách \(5x+47y\) thành tổng của hai số, trong đó một số chia hết cho 17 và một số chứa nhân tử \(x+6y\).

+ Sử dụng tính chất chia hết trên tập hơp các số nguyên để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align}  & 5x+47y=5x+30y+17y \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( 5x+30y \right)+17y \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=5\left( x+6y \right)+17y \\ \end{align}\)

Vì \(5x+47y\) chia hết cho 17 và 17y chia hết cho 17 nên suy ra \(5\left( x+6y \right)\) chia hết cho 17.

Mà 5 không chia hết cho 17 nên suy ra \(x+6y\) chia hết cho 17.

Vậy nếu \(5x+47y\) chia hết cho 17 thì \(x+6y\) cũng chia hết cho 17.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \(a \pm b \vdots d \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right.\)

+) \({\rm{a}}\, \vdots \,{\rm{b}} \Rightarrow {\rm{k}}{\rm{.a}}\, \vdots \,{\rm{b}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {6x + 11y} \right) - 6\left( {x + 7y} \right) = 6x + 11y - 6x - 42y = \left( {6x - 6x} \right) + \left( {11y - 42y} \right) =  - 31y\)

Vì \( - 31\,\, \vdots \,\,31 \Rightarrow  - 31y\,\, \vdots \,\,31 \Rightarrow \left( {6x + 11y} \right) - 6\left( {x + 7y} \right)\,\, \vdots \,\,31\)

Suy ra, \(\left( {6x + 11y} \right)\) chia hết cho \(31\) khi và chỉ khi \(\left( {x + 7y} \right)\) chia hết cho \(31\).

Vậy \(6x + 11y\) là bội của \(31\) khi và chỉ khi \(x + 7y\) là bội của \(31\).