Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu $a,b,x\in Z$ và $a=b.x$ thì $a\vdots b$và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

Bội của 5 là số 0 và những số nguyên có hàng đơn vị là 0 và 5.

Các bội của 5 là: $0;\ \,5;\,-5;\,\ 10;\,-10;\,...$

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên:

Nếu $a,b,x\in Z$ và $a=b.x$ thì $a\vdots b$và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

Ta có: $-6=-1.6=1.\left( -6 \right)=-2.3=2.\left( -3 \right).$

Tập hợp các ước của -6 là:  $A=\left\{ 1;\,-1;\ \,2;\,-2;\,\ 3;\,-3;\,\ 6;\,-6 \right\}$

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất chia hết trong tập hợp các số nguyên: $a\vdots m;b\vdots m\Rightarrow (a+b)\vdots m$

Lời giải chi tiết:

Vì  $-258$  có tổng các chữ số là $2+5+8=15\vdots 3$ nên $-258\vdots 3$ .

Do đó để $\left( -258+x \right)\vdots 3$ thì $x\vdots 3$.

Chọn B

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để tìm ước của -12 và ước của 30

+ Sử dụng tính chất sau để tìm ước chung của chúng:

Nếu c vừa là ước của a vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Lời giải chi tiết:

Tập hợp các ước của -12 và 30 là:

$\begin{align}  & U\left( -12 \right)=\left\{ \pm 1;\,\ \pm 2;\ \,\pm 3;\,\ \pm 4;\ \,\pm 6;\ \,\pm 12 \right\} \\  & U\left( 30 \right)=\left\{ \pm 1;\,\ \pm 2;\ \,\pm 3;\,\ \pm 5;\,\ \pm 6;\,\ \pm 10;\,\ \pm 15;\ \,\pm 30 \right\} \\ \end{align}$

Suy ra tập hợp các ước chung của -12 và 30 là: $UC\left( -12;\,30 \right)=\left\{ \pm 1;\,\pm 2;\,\pm 3;\,\,\pm 6 \right\}$

Chọn B

Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa ước của một số: Nếu $a \vdots b$ thì b là ước của a.

Lời giải chi tiết:

  $U(8)= \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định ước chung thông qua UCLN (Đưa về số nguyên dương)

Lời giải chi tiết:

Ước chung của $- 24$ và $30$ là ước của $UCLN\left( {24;\,\,30} \right) = 6$.

$\Rightarrow UC\left( { - 24;30} \right) = U\left( 6 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 3;\,\, \pm 6} \right\}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 7

+ Lập bảng giá trị để tìm x

Lời giải chi tiết:

Ta có:$\left( x+9 \right)\in U\left( 7 \right)\Rightarrow \left( x+9 \right)\in \left\{ -7;\,-1;\,7;\,1 \right\}$

Xét bảng:

Vậy $x\in \left\{ -16;\,-10;\,-8;\,-2 \right\}$ . 

Chọn B

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của -3

+ Lập bảng giá trị để tìm cặp giá trị $\left( x;\,y \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $x.y=-3$

Mà $x,\,y\in \mathbb{Z}$ nên $x;\,y\in U\left( -3 \right)=\left\{ -3;\,-1;\,\ 1;\,\ 3 \right\}$ .

Xét bảng:

Vậy ta có các cặp giá trị $\left( x;\,y \right)$ là: $\left( 1;-3 \right);\,\left( -3;\,1 \right);\,\left( -1;\,3 \right);\,\left( 3;\,-1 \right)$

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để chứng minh:

Nếu $a,b,x\in Z$ và $a=b.x$ thì $a\vdots b$ và a là một bội của b; b là một ước của a

Lời giải chi tiết:

a) Vì a là bội của b nên $a=b.x,\,\left( x\in \mathbb{Z} \right)$ .

Suy ra $-a=-\left( b.x \right)=b.\left( -x \right)$ .

Mà $x\in \mathbb{Z}$ suy ra $-x\in \mathbb{Z}$ , suy ra $\left( -a \right)\vdots b$ hay $-a$ là bội của b.

b) Vì b là ước của a nên $a=b.x,\,\left( x\in \mathbb{Z} \right)$.

Suy ra $a=\left( -b \right).\left( -x \right)$ .

Mà $x\in \mathbb{Z}$ suy ra $-x\in \mathbb{Z}$ , suy ra $a\vdots \left( -b \right)$ hay –b là ước của a.

Phương pháp giải:

a) + Tách $x-5=\left( x+2 \right)-7$, sử dụng tính chất chia hết của một tổng suy ra x+2 thuộc ước của 7

+ Tìm ước của 7 rồi lập bảng ta tính được giá trị của x

b) + Sử dụng khái niệm bội và ước của số nguyên để suy ra 2x+1 và y-3 là ước của -10

+ Tìm ước của -10

+ Sử dụng tính chất chia hết để loại bớt các trường hợp

+ Lập bảng giá trị để tìm các cặp giá trị $\left( x;\,y \right)$

Lời giải chi tiết:

a) $x-5$  là bội của $x+2$

Ta có: $\left( x+2 \right)\ \vdots \ \left( x+2 \right).$

Lại có: $x-5=\left( x+2 \right)-7$

$\begin{align}  & \Rightarrow \left( x-5 \right)\ \vdots \ \left( x+2 \right)\Leftrightarrow 7\ \vdots \ \left( x+2 \right). \\  & \Rightarrow \left( x+2 \right)\in \ U\left( 7 \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\in \left\{ \pm 1;\ \pm 7 \right\}. \\ \end{align}$

Ta có bảng sau:

Vậy $x\in \left\{ -9;\,-3;\,-1;\,5 \right\}$

b)$\left( 2x+1 \right)\left( y-3 \right)=-10$

Vì $x;\,y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left( 2x+1 \right);\,\left( y-3 \right)\in \mathbb{Z}$ mà $\left( 2x+1 \right)\left( y-3 \right)=-10$

$\Rightarrow \left( 2x+1 \right);\left( y-3 \right)\in U\left( -10 \right)$

Mà $U\left( -10 \right)=\left\{ \pm 1;\ \pm 2;\,\pm 5;\,\pm 10 \right\}$

Ta có: $2x\ \vdots \ 2\Rightarrow \left( 2x+1 \right)\ $ không chia hết cho $2\Rightarrow \left( 2x+1 \right)\in \left\{ \pm 1;\ \pm 5 \right\}.$

Ta có bảng:

Vậy ta có các cặp giá trị $\left( x;\,y \right)$ là: $\left( -1;\,13 \right);\left( 0;\,-7 \right);\left( -3;\,5 \right);\left( 2;\,1 \right)$

Chọn D

Phương pháp giải:

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 5.

+ Lập bảng giá trị để tìm x.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( x+1 \right)\in U\left( 5 \right)\Rightarrow \left( x+1 \right)\in \left\{ -5;\,-1;\ \,1;\,\ 5 \right\}.$

Xét bảng:

Vậy $x\in \left\{ 0;\,4;\,-2;\,-6 \right\}$ .

Chọn A

Phương pháp giải:

Ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Áp dụng $a \vdots b \Rightarrow ka \vdots b\,$(với $\forall k \in \mathbb{Z}$)

Lời giải chi tiết:

a) Với $a \in \mathbb{Z}$ ta có:

$M = a\left( {a + 2} \right) - a\left( {a - 5} \right) - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a.a + a.2} \right) - \left( {a.a - a.5} \right) - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {{a^2} - 5a} \right) - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 2a - {a^2} + 5a - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {2a + 5a} \right) - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = 7a - 7$

$\,\,\,\,\,\,\, = 7\left( {a - 1} \right)$

Vì $7 \vdots 7 \Rightarrow 7\left( {a - 1} \right) \vdots 7 \Rightarrow M \vdots 7 \Rightarrow M$là bội của $7$.

b) Để chứng minh $N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)$ là số chẵn, ta chứng minh $N \vdots 2$ với $a \in \mathbb{Z}$.

$N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)$

$\,\,\,\,\,\, = \left[ {a\left( {a + 3} \right) - 2\left( {a + 3} \right)} \right] - \left[ {a\left( {a + 2} \right) - 3\left( {a + 2} \right)} \right]$

$\,\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {{a^2} + 3a} \right) - \left( {2a + 6} \right)} \right] - \left[ {\left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {3a + 6} \right)} \right]$

$\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 3a - 2a - 6} \right) - \left( {{a^2} + 2a - 3a - 6} \right)$

$\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 3a - 2a - 6 - {a^2} - 2a + 3a + 6$

$\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {3a - 2a - 2a + 3a} \right) + \left( {6 - 6} \right)$

$\,\,\,\,\,\, = 2a$

Vì $2 \vdots 2 \Rightarrow 2a \vdots 2 \Rightarrow N \vdots 2$ suy ra $N$ là số chẵn.

Phương pháp giải:

Điều kiện để  phân số $\frac{A}{B}$ là số nguyên là $A\,\, \vdots \,\,B$.

Lời giải chi tiết:

Để phân số $\frac{{2x + 1}}{{3x - 1}}$ có giá trị nguyên thì $\left( {3x - 1} \right)$ là ước của $\left( {2x + 1} \right)$ tức là $\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3x - 1} \right)$.

Ta có: $\left. \begin{array}{l}2x + 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\\3x - 1\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2x + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\\2.\left( {3x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x + 3\,\, \vdots \,\,3x - 1\\6x - 2\,\, \vdots \,\,3x - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {6x + 3} \right) - \left( {6x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,3x - 1$

$\Rightarrow 6x + 3 - 6x + 2\,\, \vdots \,\,3x - 1$

$\Rightarrow 5\,\, \vdots \,\,3x - 1$

$\Rightarrow 3x - 1 \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}$

$\Rightarrow 3x \in \left\{ { - 4;\,\,0;\,\,2;\,\,4} \right\}$$\Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{ - 4}}{3};\,\,0;\,\,\frac{2}{3};\,\,4} \right\}$

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x = 0$ (thỏa mãn)

Vậy $x = 0$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Rút gọn biểu thức

- Tìm số ước:

+ Phân tích ra thừa só nguyên tố $A = {a^x}.{b^y}.{c^z}...$

+ Số ước là$\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\left( {z + 1} \right)...$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 \ldots  - 99 - 100$

$\,\,\,\,\, = \left( {1 + 2 - 3 - 4} \right) + \left( {4 + 6 - 7 - 8} \right) +  \ldots  + \left( {97 + 98 - 99 - 100} \right)$

$\,\,\,\,\, = \left( { - 4} \right) + \left( { - 4} \right) +  \ldots  + \left( { - 4} \right)$

$\,\,\,\,\, = 25.\left( { - 4} \right)$

$\,\,\,\,\, =  - 100$

Suy ra, $A$ chia hết cho $2$ và $5$ nhưng không chia hết cho $3$.

b) Xét $100 = {2^2}{.5^2} \Rightarrow$$100$ có tất cả $\left( {2 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 9$ ước.

$\Rightarrow$$A$ có $9$ ước tự nhiên và $18$ ước nguyên.

Phương pháp giải:

+ Biến đổi để tách $5x+47y$ thành tổng của hai số, trong đó một số chia hết cho 17 và một số chứa nhân tử $x+6y$.

+ Sử dụng tính chất chia hết trên tập hơp các số nguyên để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{align}  & 5x+47y=5x+30y+17y \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left( 5x+30y \right)+17y \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=5\left( x+6y \right)+17y \\ \end{align}$

Vì $5x+47y$ chia hết cho 17 và 17y chia hết cho 17 nên suy ra $5\left( x+6y \right)$ chia hết cho 17.

Mà 5 không chia hết cho 17 nên suy ra $x+6y$ chia hết cho 17.

Vậy nếu $5x+47y$ chia hết cho 17 thì $x+6y$ cũng chia hết cho 17.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) $a \pm b \vdots d \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right.$

+) ${\rm{a}}\, \vdots \,{\rm{b}} \Rightarrow {\rm{k}}{\rm{.a}}\, \vdots \,{\rm{b}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( {6x + 11y} \right) - 6\left( {x + 7y} \right) = 6x + 11y - 6x - 42y = \left( {6x - 6x} \right) + \left( {11y - 42y} \right) =  - 31y$

Vì $- 31\,\, \vdots \,\,31 \Rightarrow  - 31y\,\, \vdots \,\,31 \Rightarrow \left( {6x + 11y} \right) - 6\left( {x + 7y} \right)\,\, \vdots \,\,31$

Suy ra, $\left( {6x + 11y} \right)$ chia hết cho $31$ khi và chỉ khi $\left( {x + 7y} \right)$ chia hết cho $31$.

Vậy $6x + 11y$ là bội của $31$ khi và chỉ khi $x + 7y$ là bội của $31$.