25 bài tập hai mặt phẳng song song mức độ vận dụng, vận dụng cao
Làm đề thiCâu hỏi 1 :
Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′. Người ta dùng 12 mặt phẳng phân biệt (trong đó, 4 mặt song song với (ABCD), 4 mặt song song với (AA′B′B) và 4 mặt song song với (AA′D′D), chia khối lập phương nhỏ rời nhau và bằng nhau. Biết rằng tổng diện tích tất cả các khối lập phương nhỏ bằng 480. Tính độ dài a của khối lập phương ABCD.A′B′C′D′.
- A a=2.
- B a=2√3.
- C a=2√5.
- D a=4.
Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
Phương pháp:
Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a là Stp=6a2.
Cách giải
Khi dùng các mặt phẳng như đề bài cho để chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta được 125 khối lập phương nhỏ bằng nhau.
Do đó diện tích toàn phần của 1 khối lập phương nhỏ là 480125=9625
Gọi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng a thì độ dài cạnh hình lập phương nhỏ bằng a5.
Suy ra diện tích toàn phần của 1 hình lập phương nhỏ là:6(a5)2=9625⇔a=4
Chọn D.
Câu hỏi 2 :
Cho tứ diện ABCD có có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AB. Mp(P) qua M và song song với BC và CD cắt tứ diện theo 1 thiết diện là:
- A Một tam giác cân
- B Một tam giác đều
- C Một hình bình hành
- D Một tứ giác
Đáp án: B
Phương pháp giải:
- Dựng thiết diện dựa vào các yếu tố song song.
- Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính các cạnh của thiết diện.
Lời giải chi tiết:
Gọi E và E lần lượt là trung điểm của AC và AD ta có ME // BC, EF // CD
{M∈(P)∩(ABC)(P)∥BC⊂(ABC)ME∥BC⇒(P)∩(ABC)=MEπ{E∈(P)∩(ACD)(P)∥CD⊂(ACD)EF∥CD⇒(P)∩(ACD)=EF(P)∩(ABD)=MF
Khi đó thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp là tam giác MEF.
Ta có: ME=12BC=12a,EF=12CD=12a,MF=12BD=12a⇒ME=EF=MF=a2
Vậy thiết diện là một tam giác đều.
Chọn B.
Câu hỏi 3 :
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. Mp(P) qua I song song với (BCD). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) có diện tích là:
- A a2√34
- B a2√38
- C a2√312
- D a2√316
Đáp án: D
Phương pháp giải:
- Dựng thiết diện khi biết các yếu tố song song.
- Chứng minh thiết diện vừa dựng được là tam giác đều
- Tính diện tích tam giác đều bằng công thức tính nhanh: Diện tích tam giác đều cạnh a là S=a2√34.
Lời giải chi tiết:
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và AD ta có:
{I∈(ABC)∩(α)(α)∥BC⊂(ABC)IH∥BC⇒(ABC)∩(α)=IH
Tương tự ta chứng minh được (α)∩(ACD)=HK;(α)∩(ABD)=IK
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) qua I và song song với (BCD) là tam giác IHK.
Ta có: IH, HK, IK lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, ACD, ABD.
IH=12BC=12a,HK=12CD=12a,IK=12BD=12a⇒IH=HK=IK=a2⇒ΔIHK\(đềucạnh\(a2.
Vậy SΔIHK=(a2)2√34=a2√316.
Chọn D.
Câu hỏi 4 :
Cho đường thẳng a và mp(P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
- A b⊂(P),b∥a⇒a∥(P)
- B Giả sử a // (P), khi đó nếu b // (P) thì a // b.
- C a // (P)⇒ a // b, ∀b⊂(P).
- D Nếu a // (P) thì tồn tại duy nhất một (Q) qua a // (P).
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Suy ra trực tiếp từ các đáp án. Sử dụng quan hệ song song của đường thẳng và mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
A sai vì a có thể nằm trong (P).
B sai vì a và b có thể cắt nhau và cùng nằm trong một mặt phẳng song song với (P)
Ta thấy
a∥a′⊂(P)⇒a∥(P)(a⊄(P))b∥b′⊂(P)⇒b∥(P)(b⊄(P))
Tuy nhiên a và b không song song với nhau.
C sai. Dựa vào hình vẽ trên ta thấy a // (P) thì a∥a′⊂(P);ab′⊂(P).
Chọn D.
Câu hỏi 5 :
Trong không gian cho đường thẳng a⊂(α),b⊂(β),(α)∥(β). Kết quả nào sau đây đúng?
- A a∥b
- B a chéo b
- C a cắt b
- D a,b không có điểm chung.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Suy ra trực tiếp từ các đáp án, vẽ hình minh họa để nhìn rõ hơn.
Lời giải chi tiết:
Khi 2 đường thẳng a và b lần lượt thuộc 2 mặt phẳng song song ta chưa thể kết luận chúng song song hay chéo nhau nhưng chắc chắn chúng không có điểm chung.
Chọn D.
Câu hỏi 6 :
Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a, điểm M trên cạnh AB sao cho AM = m (0 < m < a). Khi đó diện tích của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(α)đi qua M và song song với (ACD) là:
- A (a+m)2√34
- B (a−m)2√34
- C (a−m)2√22
- D m2√34
Đáp án: B
Phương pháp giải:
- Tìm thiết diện dựa vào các yếu tố song song.
- Sử dụng định lí Ta-let đảo.
- Chứng minh thiết diện là tam giác đều và sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: S=a2√34.
Lời giải chi tiết:
Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E ⇒(α)∩(ABC)=ME.
Trong (ABD) qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD tại F ⇒(α)∩(ABD)=MF.
⇒(α)∩(BCD)=EF.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MEF.
Ta có: ME∥CD⇒MECD=BMAB⇔MEa=a−ma⇔ME=a−m.
EF∥CD⇒EFCD=BEBC=MEAC⇔EFa=a−ma⇒EF=a−m.
Chứng minh tương tự ta có MF = a – m.. Suy ra tam giác MEF đều cạnh a – m.
Vậy SMEF=(a−m)2√34.
Chọn B.
Câu hỏi 7 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (α) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự lần lượt tại A’, B’, C’, D’ (không đồng thời trùng với các đầu mút). A′B′C′D′ là hình bình hành khi và chỉ khi:
- A (α)//(ABCD)
- B (α) và (ABCD) cắt nhau.
- C (α) và (ABCD) trùng nhau.
- D (α) đi qua trung điểm của các đoạn SA, SB, SC, SD.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Suy luận từng đáp án.
Lời giải chi tiết:
Do A’, B’, C’, D’ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.
Gọi a là đường thẳng qua S và song song với AB, b là đường thẳng qua S và song song với AD.
A’B’C’D’ là hình bình hành khi và chỉ khi {A′B′//C′D′A′B′=C′D′
Ta có: {a=(ABC)∩(SCD)A′B′//C′D′A′B′⊂(ABC),C′D′⊂(SCD)⇒A′B′//a
Suy ra A’B’ // AB (1)
Tương tự ta có: {b=(ABD)∩(SBC)A′D′//B′C′A′D′⊂(ABD),C′B′⊂(SBC)⇒A′D′//b
Suy ra A’D’ // AD (2).
Từ (1) và (2) ⇒(A′B′C′D′)//(ABCD) hay (α)//(ABCD).
Chọn A.
Câu hỏi 8 :
Cho hai hình vuông có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M’, N’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A AC, BF cắt nhau
- B Tứ giác MNM’N’ là hình bình hành
- C MN song song với (DEF)
- D MN cắt (DEF)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+) Trong (ABCD) qua M kẻ MM’ // AB (M′∈AD)
Trong (ABEF) qua N kẻ NN’ // AB (N′∈AF)
+) Dựa vào phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song
và tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
Trong (ABCD) qua M kẻ MM’ // AB (M′∈AD)
Trong (ABEF) qua N kẻ NN’ // AB (N′∈AF)
Ta có:
{AM′AD=AMACAN′AF=BNBFAM=BN;AC=BF⇒AM′AD=AN′AF⇒M′N′//DF
Lại có NN’ // AB // EF ⇒(MM′N′N)//(DEF)
Mà MN⊂(MM′N′N)⇒MN//(DEF)
Chọn C.
Câu hỏi 9 :
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, ^BAC=300. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Biện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
- A 169
- B 149
- C 259
- D 1
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB và AC. Xác định mặt phẳng (P) và thiết diện của (P) với hình chóp là tam giác MNP.
Chứng minh thiết diện là tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k nào đó ⇒SMNPSABC=k2.
Tính diện tích tam giác ABC từ đó suy ra diện tích tam giác MNP.
Lời giải chi tiết:
Trong (SAB) qua M kẻ MN // AB, trong (SAC) kẻ MP // AC. Khi đó ta có (MNP) // (ABC).
⇒(MNP)≡(P).
Thiết diện của (P) và hình chóp là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số MNAB=SMSA=23
⇒SMNPSABC=(23)2=49⇒SMNP=49SABC
Ta có SABC=12AB.AC.sin^BAC=12.4.4.sin300=4
⇒SMNP=49.4=169
Chọn A.
Câu hỏi 10 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có các đáy AD và BC. Gọi M là trọng tâm tam giác SAD, N là điểm thuộc AC sao cho NA=NC2, P là điểm thuộc đoạn CD sao cho PD=PC2. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A MN // (SBC) và (MNP) // (SBC).
- B MN cắt (SBC)
- C Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (MNP) là đường thẳng song song với BC.
- D (MNP) // (SAD)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Dựa vào phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song và tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
Gọi H∈SD sao cho HD=12SH
Ta có: SMSE=SHSD=23⇒MH//AD//NP⇒M,H,P,N đồng phẳng.
Ta có:
ANAC=DPDC=13⇒NP//AD;DHDS=DPDC=13⇒HP//SC{NP//AD//BCHP//SC⇒(MHPN)//(SBC)⇒(MNP)//(SBC)MN⊂(MNP)⇒MN//(SBC)
Chọn A.
Câu hỏi 11 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A PQ cắt (SBC)
- B (MOR) // (SCD)
- C (MON) // (SBC)
- D PQ // (SBC)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Dựa vào phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó song song và tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.
Lời giải chi tiết:
{MR//AB//CDOR//SD⇒(MOR)//(SCD)⇒B đúng.
{MN//AD//BCON//SB⇒(MON)//(SBC)⇒C đúng.
Ta có:
{MP//SBOP//BC⇒(MNOP)//(SBC);PQ⊂(MNOP)⇒PQ//(SBC)⇒D đúng.
Vậy A sai.
Chọn A.
Câu hỏi 12 :
Cho tứ diện ABCD, gọi G1;G2;G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (G1G2G3) bằng k lần diện tích tam giác BCD, khi đó k bằng
- A 49
- B 23
- C 34
- D 12
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Chứng minh (G1G2G2)//(MNP)⇒ Cách dựng thiết diện.
+) Chứng minh thiết diện vừa dựng được là tam giác đồng dạng với tam giác BCD.
+) Sử dụng tính chất: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD. Ta có:
AG1AM=AG2AN=AG3AP=23⇒G1G2//MN,G2G3//NP⇒(G1G2G2)//(MNP)
Qua G1 kẻ B′C′//BC(B′∈AB,C′∈AC)
Qua G2 kẻ C′D′//DC(D′∈AD)
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (G1G2G3) là ΔB′C′D′
Ta có: B′C′BC=AG1AM=23⇒ΔB′C′D′ đồng dạng với ΔBCD theo tỉ số 23.
⇒SΔB′C′D′SΔBCD=(23)2=49.
Chọn A.
Câu hỏi 13 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC=a,BD=b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (P) di động song song với (SBD) đi qua I trên đoạn OC. Đặt AI=x(a2<x<a). Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) là:
- A b2(a−x)2√2a2
- B b2(a+x)2√3a2
- C b2(a+x)2a2√3
- D b2(a−x)2√3a2
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dựng mặt phẳng qua I và song song với (SBD), dựng thiết diện.
Chứng minh thiết diện là tam giác đều và tính diện tích tam giác đều đó.
Lời giải chi tiết:
Trong (ABCD) qua I kẻ EF // BD (E∈BC;F∈CD)
Trong (SAC) qua I kẻ IG // SO (G∈SC)
⇒(GEF) qua I và song song với (SBD) ⇒(P)≡(GEF)
Ta có: {(GEF)∩(SBC)=GE(SBD)∩(SBC)=SB(GEF)//(SBD)⇒GE//SB
Tương tự ta chứng minh được GF // SD.
Ta có:
{ICOC=FEBD=GCSC=GESB=GFSDBD=SB=SD⇒GE=GF=EF⇒ΔGEF đều và ICOC=EFBD⇒EF=ICOC.BD=2(a−x)a.b
⇒ΔGEF đều cạnh 2(a−x)a.b, do đó SΔGEF=4(a−xa)2.b2√34=b2(a−x)2√3a2
Chọn D.
Câu hỏi 14 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB = 3a, AD = CD = a. Mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S, SA = 2a. Mặt bên (α) di động và song song với (SAB) đồng thời cắt các cạnh AD, BC, SC, SD theo thứ tự M, N, P, Q. Biết tứ giác MNPQ ngoại tiếp một đường tròn bán kính r. Tính r?
- A r=a√76
- B r=a√73
- C r=a√72
- D r=2a√73
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Dựng mặt phẳng (α) thỏa mãn yêu cầu bài toán, chứng minh thiết diện MNPQ là hình thang cân.
Chứng minh để MNPQ ngoại tiếp được đường tròn thì MN + PQ = MQ + NP (*).
Đặt AM = x. Tính các cạnh của hình thang MNPQ theo x rồi thay vào (*) để tìm x.
Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình thang cân MNPQ.
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm M∈AD, trong (ABCD) qua M kẻ MN // AB (N∈BC). Trong (SAD) qua M kẻ MQ // SA, trong (SBC) qua N kẻ NP // SB.
⇒(MNPQ)//(SAB).
Ta có: {(MNPQ)∩(ABCD)=MN(MNPQ)∩(SCD)=PQ(ABCD)∩(SCD)=CD⇒MN//PQ//CD⇒ MNPQ là hình thang.
Lại có {^QMN=^(MN;MQ)=^(AB;AS)=^SAB^PNM=^(NM;NP)=^(BA;BS)=^SBA⇒^QMN=^PNM
Do đó MNPQ là hình thang cân.
Giả sử MNPQ ngoại tiếp được đường tròn tâm I, gọi E và F lần lượt là trung điểm của PQ và MN.
Do MNPQ là hình thang cân nên I∈EF.
Kẻ IH⊥MQ;IK⊥NP.
Ta có: IE=IF=IH=IK, xét tam giác vuông IPE và IPK có IC chung, IE = IK ⇒ΔIPE=ΔIPK(ch−cgv)⇒EP=KP
Chứng minh tương tự ta có: QE=QH,NK=NF,MH=MF
⇒MN+PQ=MQ+NP=2MQ(∗)
Đặt AM = x (0 < x < a). Theo định lí Ta-let ta có: DMDA=MQSA⇒MQ=DM.SADA=(a−x).2aa=2(a−x)
Ta có : PQCD=SQSD=AMAD⇒PQa=xa⇒PQ=x.
Kẻ DR // BC, gọi G=DR∩MN, dễ thấy RB = GN = CD = a.
MGAR=DMDA⇒MG=AR.DMDA=2a.(a−x)a=2(a−x)⇒MN=MG+GN=3a−2x
Thay vào (*) ta có : 3a−2x+x=4(a−x)⇔3a−x=4a−4x⇔3x=a⇔x=a3.
⇒MN=7a3,MQ=4a3;PQ=a3
Ta có : EF=√MQ2−(MN−PQ2)2=a√73⇒r=12EF=a√76.
Chọn A.
Câu hỏi 15 :
Chóp SABC. SA = a. SA⊥BC. Tam giác ABC đều. AB = a. H là trung điểm của BC. M∈AH để AM = x (0<x<a√32). Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC. Dựng (P). Tìm thiết diện của mp (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết:
Dựng (P)
+) Qua M dựng PQ∥BC
+) Qua Q dựng QE∥SA⇒(P)≡(PQE)
Tìm thiết diện.
+) Ta có {(PQE)∩(ABC)=PQ(PQE)∩(SAC)=QE
{E∈(PQE),E∈(SBC)PQ∥BC⇒(PQE)∩(SBC)=EF∥PQ∥BC⇒(PQE)∩(SAB)=PF
⇒ Thiết diện là tứ giác PQEF.
+)SA⊥BC⇒PQ⊥QE⇒ Thiết diện là hình chữ nhật.
Tính diện tích thiết diện
+)PQ∥BC⇒PQBC=AMAH⇒PQ=a.xa√32=2x√3+)QE∥SA⇒QESA=CQCA=HMHA⇒QE=a.(a√32−x)a√32=a√3−2x√3+)STD=SEFPQ=PQ.QE=2x√3.a√3−2x√3=23x(a√3−2x)
Câu hỏi 16 :
Chóp S.ABCD. SA = a. ABCD là hình vuông. AB = a. SB=a√2,^SBC=90o.M∈AB để AM = x (0< x < a). Mặt phẳng (P) qua M và song song với (SBC). Dựng mặt phẳng (P). Tìm thiết diện của mp (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết:
Dựng (P)
+) Qua M dựng MN∥BC
+) Qua M dựng MQ∥SB
⇒(P)≡(QMN)
Tìm thiết diện.
+) Ta có: {(QMN)∩(ABCD)=MN(QMN)∩(SAB)=MQ
+) {Q∈(QMN),Q∈(SAD)MN∥AD
⇒(QMN)∩(SAD)=QP∥AD∥MN
⇒(QMN)∩(SCD)=PN⇒ Thiết diện là tứ giác MNPQ
Tính diện tích thiết diện
+) ^SBC=90o⇒^QMN=90o⇒ Thiết diện là hình thang vuông ở M, Q có MN = a.
+)QM∥SB⇒QMSB=AMAB⇒QM=a√2.xa=x√2+)PQ∥AD⇒PQAD=SQSA=BMBA⇒PQ=(a−x)aa=a−x+)STD=(MN+PQ).QM2=√2x(2a−x)2
Câu hỏi 17 :
Cho hai mặt phẳng song song (P),(Q) và đường thẳng Δ. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A Nếu Δ song song với (P) thì Δ song song với (Q).
- B Nếu Δ nằm trên (P) thì Δ song song với (Q).
- C Nếu Δ nằm trên (Q) thì Δ song song với (P).
- D Nếu Δ cắt (P) thì Δ cắt (Q).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính chất đường thẳng và mặt phẳng song song.
Chú ý chỉ ra phản ví dụ cho mệnh đề sai.
Lời giải chi tiết:
Đáp án A: sai vì nếu Δ//(P) thì vẫn có thể xảy ra trường hợp Δ⊂(Q) chứ chưa chắc đã song song.
Đáp án B, C: đúng theo tính chất hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song mặt phẳng kia.
Đáp án D: hiển nhiên đúng.
Chọn A.
Câu hỏi 18 :
Cho lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có hai đáy là các hình bình hành. Các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC,CC′ (tham khảo hình vẽ). Xét các khẳng định sau:
I) Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh A′D′
II) Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh DD′ tại trung điểm của DD′
III) Mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC′D′)
Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là
- A 3
- B 1
- C 4
- D 2
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Chứng minh hai mặt phẳng (P),(Q) song song dựa vào {a//bc//da,c⊂(P),a∩cb,d⊂(Q),b∩d⇒(P)//(Q)
Lời giải chi tiết:
+ Lấy E là trung điểm DD′⇒EP//CD//MN suy ra (MNP)≡(MNPE)
Do đó (MNP)∩DD′=E với E là trung điểm DD′ nên II) đúng.
+ Trong (ADD′A′) có ME cắt tia A′D′ tại F suy ra (MNPE)∩A′D′={F}
Ta có AMFD′ là hình bình hành (do MF//AD′;AM//D′F ) nên AM=D′F=12A′D′⇒A′F=32A′D
Nên F không thuộc cạnh A′D′ do đó I) sai.
+ Ta có ME//AD′(do ME là đường trung bình ΔDAD′) và MN//AB nên (MNP)//(ABC′D′) do đó III) đúng.
Chọn D
Câu hỏi 19 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm bất kì nằm trong đoạn thẳng SC. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì
- A Hình bình hành
- B Hình thang
- C Hình tam giác cân
- D Hình ngũ giác
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Dựng các đường thẳng qua M và song song với các cạnh của tam giác SAB ta được mặt phẳng (α) cần dựng
Từ đó ta xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α)
Lời giải chi tiết:
+ Trong mặt phẳng (SBC)kẻ MF//SB(F∈BC)
+ Trong mặt phẳng (ABCD)kẻ FN//BA(N∈AD)
Từ đó ta có (MNF)//(SAB)
Trong (SCD) kẻ ME//CD(E∈SD)⇒ME//CD//FN//AB hay (MNF)≡(MFNE)
Suy ra (α)≡(MFNE)
Ta có {(α)∩(SBC)=MF(α)∩(SDC)=ME(α)∩(SAD)=NE(α)∩(ABCD)=NF nên thiết diện cắt bởi (α) là tứ giác MENF
Mà ME//FN⇒MENF là hình thang.
Chọn B
Câu hỏi 20 :
Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành (tham khảo hình vẽ). Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm các cạnh SA,SB,SC. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
- A IJ//CD
- B SD∩(IJK)=∅
- C (IJK)∩(ACD)=∅
- D IK//AC
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất hình bình hành, tính chất đường trung bình của tam giác
Sử dụng cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, lại có IJ//AB (do IJ là đường trung bình của tam giác SAB) nên IJ//CD hay A đúng.
Lấy M là trung điểm của SD⇒IJKM là hình bình hành nên (IJK)∩SD={M}, do đó B sai.
Vì {IJ//ABJK//BC⇒(IJK)//(ACD) nên (IJK)∩(ACD)=∅, do đó C đúng.
+ IK//AC do IK là đường trung bình tam giác SAC nên D đúng.
Chọn B
Câu hỏi 21 :
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, biết AB=a,∠SAD=900 và tam giác SAB là tam giác đều. Gọi Dt là đường thẳng đi qua D và song song với SC,I là giao điểm của Dt và mặt phẳng(SAB). Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AIC) có diện tích là:
- A a2√516
- B a2√24
- C a2√78
- D 11a232
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+ Xác định điểm I.
+ Xác định thiết diện.
+ Sử dụng công thức He-rong để tính diện tích tam giác: SΔAEC=√p(p−a)(p−b)(p−c).
Lời giải chi tiết:
Trong (SCD) kẻ Dt∥SC.
Ta có {S∈(SAB)∩(SCD)(SAB)⊃AB,(SCD)⊃CDAB∥CD(gt)⇒ Giao tuyến của (SAB),(SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB,CD. Trong (SAB) kẻ Sx∥AB⇒(SAB)∩(SCD)=Sx.
Trong (SCD) gọi I=Dt∩Sx ta có: {I∈DtI∈Sx⊂(SAB)⇒I∈(SAB)⇒I=Dt∩(SAB).
Trong (SCD) gọi E=CI∩SD, khi đó thiết diện của chóp cắt bởi (AIC) là tam giác AEC.
ABCD là hình vuông cạnh a⇒AC=a√2.
Dễ dàng chứng minh được SBAI,SCDI là hình bình hành ⇒AI=SB=a,E là trung điểm của SD,IC.
Tam giác SAD có SA=AD=a,∠SAD=900⇒ΔSAD vuông cân tại A⇒SD=SA√2=a√2.
⇒AE=12SD=a√22.
Xét tam giác IAC có:
AE2=AI2+AC22−IC24⇔a22=a2+2a22−IC24⇒IC24=a2⇔IC2=4a2⇔IC=2a⇒EC=12IC=a
Khi đó áp dụng công thức Hê-rông ta có: SΔAEC=√p(p−a)(p−b)(p−c)=a2√78.
Chọn C.
Câu hỏi 22 :
Cho hai hình bình hành ABCD,ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M,N lần lượt thuộc đoạn AC,BF sao cho AMAC=BNBF( Tham khảo hình vẽ). Đường thẳng MN song song với mặt phẳng nào sau đây?
- A (ADF).
- B (DCF).
- C (ADE).
- D (BCE).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Chứng minh hai mặt phẳng song song rồi suy ra tính chất song song của đường thẳng và mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Lấy H,K lần lượt trên AD,AF sao choAHAP=AKFA=AMAC=BNBF.
Tam giác AFP có AHAP=AKFA, áp dụng định lí Ta-lét đảo ta cóHK∥PF.
Tương tự ta có KN∥FE
Do đó (HKN)∥(DFE)⇒(MNKH)∥(DFEC)⇒MN∥(DCF)
Chọn B.
Câu hỏi 23 :
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6cm. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho SM=2MA. Diện tích của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(ABC) là:
- A 4√3cm2.
- B 8√3cm2.
- C √3cm2.
- D
16√3cm2.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng tỉ số và định lí Ta-lét.
Lời giải chi tiết:
Gọi N,P lần lượt thuộc SB,SC sao cho SNSB=SPSC=SMSA.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng qua M song song với (ABC) là tam giác MNP.
Áp dụng định lí ta-lét trong tam giác SAB có:MNAB=SMSA=23=4(SM=2MA;SA=6)
Tương tự ta có NP=MP=4cm.
Do đó tam giácMNP là tam giác đều cạnh 4cm.
⇒SMNP=√34.42=4√3cm2
Chọn A.
Câu hỏi 24 :
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O,O1 lần lượt là tâm của ABCD,ABEF. Lấy M là trung điểm của CD. Hỏi khẳng định nào sau đây sai ?
- A MO1 cắt (BEC).
- B OO1//(EFM).
- C OO1//(BEC).
- D OO1//(AFD).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp loại đáp án, xét các đáp án đúng, từ đó suy ra đáp án sai.
Lời giải chi tiết:
Đáp án B: Dễ thấy OO1//DF⊂(EFM) nên B đúng.
Đáp án C: OO1//CE⊂(BEC) nên C đúng.
Đáp án D: OO1//DF⊂(AFD) nên D đúng.
Ngoài ra A sai vì MO1//(BEC), thật vậy,
OO1//CE, OM//BC nên (OO1M)//(BCE) ⇒MO1//(BCE).
Chọn A.
Câu hỏi 25 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,AB//CD,AB=2CD.M là một điểm thuộc cạnh AD,(α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng 23 diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x=MAMD.
- A x=12.
- B x=1.
- C x=32.
- D x=23.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Bước 1. Đặt CD=a,d(S,AB)=b. Sử dụng tính chất của hai đường song song để thiết lập hệ thức giữa độ dài các cạnh.
Bước 2. Tính diện tích của MNPQ, SAB qua a,b,x.
Bước 3. Sử dụng giả thiết SMNPQ=23SSABđể tìm x.
Lời giải chi tiết:
Đặt CD=a⇒AB=2a. Giả sử d(S,AB)=b.
Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) là MNPQ(N∈BC,P∈SC,Q∈SD). ⇒QP//CD
Vì MQ//SA nên QSQD=MAMD=x=x1⇒QSQS+QD=xx+1=QSSD.
Vì QP//DC nên QPDC=QSSD=xx+1⇒QP=axx+1.
Vì MN//AD//DC nên
MKAB=MDAD=1x+1,NKDC=BNBC=MAAD⇒NKAB=MA2AD=xMD2AD=x2(x+1)⇒MNAB=MK+NKAB=2+x2(x+1)⇒MN=a(2+x)x+1.
Hơn nữa d(Q,MN)d(S,AB)=MDAD=1x+1⇒d(Q,MN)=bx+1.
Ta lại có SSAB=12d(S,AB).AB=ab và
SMNPQ=QP+MN2d(Q,MN)=12(axx+1+a(x+2)x+1)bx+1=(ax+a)b(x+1)2=a(x+1)b(x+1)2=abx+1.
Vì SMNPQ=23SSAB⇒abx+1=23ab⇒2(x+1)=3⇒x=12.
Chọn A.
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |