Phương pháp giải:

Suy ra tính đúng sai trực tiếp của từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

A đúng, và tập hợp tất cả các đường thẳng đó tạo thành mặt phẳng qua điểm cho trước và song song với mặt phẳng đã cho.

Dễ thấy C và D đúng.

Hình trên ta có a và b cùng song song với mặt phẳng (P) tuy nhiên a và b cắt nhau. Đáp án B sai.

Phương pháp giải:

Dựa vào lý thuyết quan hệ song song trong không gian

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(\left(  I I  \right)\) sai vì \(a,\,\,b\) có thể chéo nhau, \(\left(  I \right)\) và \(\left(  I I I  \right)\) đúng.

Chọn B

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

A sai vì \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) có thể trùng nhau.

B sai vì nếu a // b thì \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) chưa chắc song song với nhau.

C không thể kết luận được vị trí của \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \matrix{  \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \hfill \cr   a//\left( \alpha  \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  a \subset \left( \beta  \right) \hfill \cr   a//\left( \beta  \right) \hfill \cr}  \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa và các tính chất hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

A và B sai vì nếu \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\) và \(a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \beta  \right)\) thì a // b hoặc a và b chéo nhau.

C sai vì nếu a // b và \(a \subset \left( \alpha  \right),b \subset \left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\) hoặc \(\left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) = c//a//b\)

D đúng.

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Dựng hình và nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các cạnh bằng nhau nên tam giác \(ABC\) đều.

Khi cắt lăng trụ bởi mặt phẳng song song với đáy ta cũng được tam giác đều \(DFE\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a \subset \left( \alpha  \right);\,\,b \subset \left( \beta  \right)\) mà\(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right).\)

Do đó 2 đường thẳng a,b có thể song song hoặc chéo nhau.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất song song.

Lời giải chi tiết:

Từ \(G\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) lần lượt cắt \(SC,\,\,SD\) tại \(E,\,\,F\).     

Vậy thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ABG} \right)\) là hình tứ giác ABEF.

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

Nhớ lại các quan hệ song song của đường thẳng mặt phẳng.

Cách giải:

Đáp án B: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right),{{d}_{1}}\subset \left( \alpha \right);{{d}_{2}}\subset \left( \beta \right)\) thì \({{d}_{1}}//{{d}_{2}}\) hoặc \({{d}_{1}}\) chéo \({{d}_{2}}\). Loại B.

Đáp án C: \({{d}_{1}}\subset \left( \alpha \right);{{d}_{2}}\subset \left( \beta \right);{{d}_{1}}//{{d}_{2}}\) thì có thể xảy ra trường hợp \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) (trong TH này thì \({{d}_{1}}//{{d}_{2}}//\Delta \) với \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng). Loại C.

Đáp án D: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng ta vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho nên mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng vẽ được sẽ đều song song song với mặt phẳng dã cho. Vậy có vô số đường thẳng \(\Rightarrow \) loại D.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

- Sử dụng định lí Ta-let đảo.

- Chứng minh thiết diện là tam giác đều và sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Lời giải chi tiết:

Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABC \right)=ME\).

Trong (ABD) qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD tại F \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABD \right)=MF.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( BCD \right)=EF.\)

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MEF.

 Ta có: \(ME\parallel CD\Rightarrow \frac{ME}{CD}=\frac{BM}{AB}\Leftrightarrow \frac{ME}{a}=\frac{a-m}{a}\Leftrightarrow ME=a-m.\)

\(\text{EF}\parallel CD\Rightarrow \frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}=\frac{ME}{AC}\Leftrightarrow \frac{EF}{a}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow EF=a-m\)

Chứng minh tương tự ta có MF = a – m.. Suy ra tam giác MEF đều cạnh a – m.

Vậy \({{S}_{MEF}}=\frac{{{\left( a-m \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

- Sử dụng định lí Ta-let đảo.

- Tính độ dài các cạnh của tam giác và tính chu vi của tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CI cắt AC tại N \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABC \right)=MN\).

Trong (SAB) qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAB \right)=MP.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( SAC \right)=NP\) và NP // SC.

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MNP.

 Ta có: \(ME\parallel CI \Rightarrow \frac{{MN}}{{CI}} = \frac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{x}{{\frac{{AB}}{2}}} \Leftrightarrow MN = \frac{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}x}}{{\frac{{AB}}{2}}} = x\sqrt 3 .\)

\(\begin{array}{l}MP\parallel SI \Rightarrow \frac{{MP}}{{SI}} = \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AP}}{{AS}} \Leftrightarrow \frac{{MP}}{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{x}{{\frac{{AB}}{2}}} \Rightarrow MP = \frac{{\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}x}}{{\frac{{AB}}{2}}} = x\sqrt 3 \\PN\parallel SC \Rightarrow \frac{{AP}}{{AS}} = \frac{{PN}}{{SC}} \Rightarrow \frac{{PN}}{{SC}} = \frac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \frac{{PN}}{{SC}} = \frac{x}{{\frac{{AB}}{2}}} \Leftrightarrow PN = \frac{{xSC}}{{\frac{{AB}}{2}}} = 2x\,\,\left( {SC = AB} \right)\end{array}\)

Vậy chu vi tam giác MNP là \(2x\sqrt{3}+2x=2x\left( 1+\sqrt{3} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

- Sử dụng định lí Ta-let đảo.

- Chứng minh thiết diện là tam giác đều và sử dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là: \(S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Lời giải chi tiết:

Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABC \right)=ME\).

Trong (ABD) qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt BD tại F \(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( ABD \right)=MF.\)

\(\Rightarrow \left( \alpha  \right)\cap \left( BCD \right)=EF.\)

Vậy thiết diện cần tìm là tam giác MEF.

 Ta có: \(ME\parallel CD\Rightarrow \frac{ME}{CD}=\frac{BM}{AB}\Leftrightarrow \frac{ME}{a}=\frac{a-m}{a}\Leftrightarrow ME=a-m.\)

\(\text{EF}\parallel CD\Rightarrow \frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BC}=\frac{ME}{AC}\Leftrightarrow \frac{EF}{a}=\frac{a-m}{a}\Rightarrow EF=a-m\).

Chứng minh tương tự ta có MF = a – m.. Suy ra tam giác MEF đều cạnh a – m.

Vậy \({{S}_{MEF}}=\frac{{{\left( a-m \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa các tính chất của hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A đúng. Giả sử (P) // (Q), \(a\subset \left( P \right)\Rightarrow a//\left( Q \right)\). Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì a song song với một  đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (Q).

Đáp án B sai: Giả sửa \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right);\,\,a//\left( \beta  \right)\Rightarrow \left[ \begin{align}  & a\subset \left( \alpha  \right) \\  & a//\left( \beta  \right) \\ \end{align} \right..\)

Đáp án D sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng chưa chắc song song, chúng có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó, hoặc trùng nhau.

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\left\{ \matrix{  a//\left( \beta  \right) \hfill \cr   b//\left( \beta  \right) \hfill \cr   a \cap b \subset \left( \alpha  \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\\a \cap b \subset \left( \alpha \right)\\a',b' \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)

Lời giải chi tiết:

Dễ dàng chứng minh được MNOP là hình bình hành \( \Rightarrow M,N,O,P\) đồng phẳng \( \Rightarrow A,C\) sai.

Ta có : MN là đường trung bình của tam giác SAD \( \Rightarrow MN//AD//BC\)

ON là đường trung bình của tam giác SBD \( \Rightarrow ON//SB\)

\( \Rightarrow \) (MON) // (SBC)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Đáp án D sai vì \(N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện bằng cách kẻ các đường thẳng song song.

Sử dụng định lí Ta-let.

Lời giải chi tiết:

Trong (ABCD) qua I kẻ MN // BD \(\left( {M \in AB;N \in AD} \right)\)

Trong (SAB) qua M kẻ MP // SB \(\left( {P \in SA} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {MNP} \right)\)

\(\left\{ \matrix{  \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP \hfill \cr   \left( {SBD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SD \hfill \cr   \left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow NP//SD\)

Theo định lí Ta-let ta có: \({{MN} \over {BD}} = {{AM} \over {AB}} = {{AP} \over {AS}} = {{MP} \over {SB}} = {{NP} \over {SD}}\)

Mà tam giác MNP đều.

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AA'//DD'\\AB//CD\end{array} \right.\Rightarrow \left( {AA'B'B} \right)//\left( {DD'C'C} \right) \Rightarrow A\) đúng.

Có: A’B’ // CD và A’B’ = CD nên A’B’CD là hình bình hành, do đó C đúng.

D đương nhiên đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \matrix{  MN//BC \hfill \cr   MN \subset \left( {AMN} \right) \hfill \cr   B'C' \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( {AMN} \right) = \Delta \) đi qua A và \(\Delta //MN//BC\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Vẽ hình, chứng minh các mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AD \cap \left( {BEF} \right) = A \Rightarrow A\) sai.

Ta có: \(\left\{ \matrix{  AF//BE \hfill \cr   AD//BC \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left( {AFD} \right)//\left( {BEC} \right) \Rightarrow \) B đúng.

\(\left( {ABD} \right) \cap \left( {EFC} \right) = CD \Rightarrow C\) sai.

\(EC \cap \left( {ABF} \right) = E \Rightarrow D\) sai.

Chọn B. 

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.

Lời giải chi tiết:

Trong (ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại B’ và C’.

Trong (ABD) qua B’ kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại D’.

Vậy \(\left( \alpha  \right) \equiv \left( {B'C'D'} \right) \Rightarrow \) Thiết diện là tam giác.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Với\(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) là 3 mặt phẳng phân biệt, có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\\left( R \right) \cap \left( P \right) = a\\\left( R \right) \cap \left( Q \right) = b\end{array} \right. \Rightarrow a//b\)

+) Chứng minh hai mặt phẳng song song: \(\left\{ \begin{array}{l}a,b//\left( P \right)\\a,b \subset \left( Q \right)\\a \cap b = \left\{ I \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC,AI//\left( \alpha  \right)\\BC,AI \subset \left( {ABC} \right)\\BC \cap AI = I\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha  \right)//\left( {ABC} \right)\) hay \(\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)\): (4) đúng

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = MQ\\\left( {ACD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {MNP} \right)//\left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MQ//AC\): (2) đúng

Tương tự: MP // BC : (1) đúng

(3): PQ // AI : sai (PQ // AB, mà AB khác phương AI)

Chọn: B

Phương pháp giải:

+ Dựng giao tuyến dựa vào các yếu tố song song.

+ Sử dụng định lí Ta-lét.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IJK} \right) \supset IJ\\\left( {ABD} \right) \supset AB\\IJ//AB\\K \in \left( {IJK} \right) \cap \left( {ABD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {IJK} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(IJ,\,\,AB\).

Trong \(\left( {ABD} \right)\) kẻ \(KF//AB\,\,\left( {F \in AD} \right)\), khi đó ta có \(\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABD} \right) = KF \Rightarrow \left( {IJK} \right) \cap AD = F\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{FA}}{{FD}} = \dfrac{{KB}}{{KD}} = 2\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện có sử dụng yếu tố song song.

Lời giải chi tiết:

Vì \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD \Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNP} \right) \supset MN\\\left( {SBC} \right) \supset BC\\MN\parallel BC\,\,\left( {cmt} \right)\\P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng đi qua \(P\) và song song với \(MN,\,\,BC\).

Gọi \(Q\) là trung điểm của \(SC \Rightarrow PQ\parallel BC\) (\(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(SBC\)) \( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ\).

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {MNP} \right)\) là tứ giác \(MNQP\).

Do \(PQ\parallel BC\parallel MN \Rightarrow MNQP\) là hình thang.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow AD//BC\)

\( \Rightarrow \left( {SAD} \right)//\left( {SBC} \right).\)

Lại có: \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ S \right\}.\)

Qua \(S\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(AD.\)  

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d.\)

Chọn  B.