Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\frac{x}{15}=\frac{-4}{5}\Leftrightarrow x.5=-4.15\Leftrightarrow 5x=-60\Leftrightarrow x=-12\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\)

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\frac{x}{\frac{3}{50}}=\frac{\frac{2}{3}}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{2}{3}.\frac{3}{50}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{5}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Ta đặt tỉ lệ thức của bài cho là một số \(k\) bất kì để từ đó rút ra các \(x\) và \(y\) theo \(k\) tương ứng. Thay \(x,y\) vừa rút vào điều kiện thứ hai của đề bài để tìm \(k\). Sau khi tìm được \(k\) thay ngược trở lại để tính \(x,y\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

a)  \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\) và \(x-y=35\).     

Đặt \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4} = k\)

Suy ra \(x=3k\) và \(y = 4k\)

Do đó \(x-y=35\) tương đương với \(3k-4k=35\) hay \(k=-35\)

Thay \(k=-35\) ta được \(x=3.(-35)=-105\); \(y=4.(-35)=-140\).

Vậy \( x= -105\); y = \(-140\)

b) \(\frac{x}{3}=\frac{y}{7}\) và \(xy=2100\).

Đặt \(\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=k\). Suy ra \(x=3k\) và \(y = 7k\)

Do đó \(xy=2100\) tương đương với \(3k.7k=2100\) hay \({{k}^{2}}=100\Rightarrow k=\pm 10\).

+Trường hợp 1: \(k=10\) thì \(x=30,y=70\)

+Trường hợp 2: \(k=-10\) thì \(x=-30,y=-70\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=bk \\ & c=dk \\\end{align} \right.\) , thay vào VT, VP của đẳng thức cần chứng minh và kiểm tra các kết quả.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=bk \\ & c=dk \\\end{align} \right.\), ta có:

\(\begin{align} & \frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{3kb+2kd}{3b+2d}=\frac{k\left( 3b+2d \right)}{3b+2d}=k \\ & \frac{-5a+3c}{-5b+3d}=\frac{-5kb+3kd}{-5b+3d}=\frac{k\left( -5b+3d \right)}{-5b+3d}=k \\\end{align}\)

Vậy \(\frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{-5a+3c}{-5b+3b}\).

b) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=bk \\& c=dk \\\end{align} \right.\) ta có:

\(\begin{align}& \frac{ac}{bd}=\frac{kb.kd}{bd}=\frac{{{k}^{2}}.bd}{bd}={{k}^{2}} \\ & \frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{{{\left( kb \right)}^{2}}+{{\left( kd \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{{{k}^{2}}.{{b}^{2}}+{{k}^{2}}.{{d}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}=\frac{{{k}^{2}}\left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}={{k}^{2}} \\\end{align}\)

Vậy \(\frac{ac}{bd}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{d}^{2}}}\).

Phương pháp giải:

Biến đổi tỉ lệ thức phù hợp để tìm ra kết quả phù hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)

Ta có:

\(\frac{b}{a} = \frac{d}{c} \Leftrightarrow \frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1 \Leftrightarrow \frac{{b + a}}{a} = \frac{{d + c}}{c}\) 

Chọn B.\(\) \(\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tỉ lệ thức để tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất. Sau đó, sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật để tính diện tích mảnh đất đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a và b (mét) \(\left( {0 < a < b < 25} \right).\)

Theo bài ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{4}\)\(\)

Chu vi của mảnh đất là 50m, ta có:\(\)\(2(a + b) = 50 \Leftrightarrow a + b = 25\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{1} = \frac{b}{4} = \frac{{a + b}}{5} = \frac{{25}}{5} = 5\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\;\;\left( {tm} \right)\\b = 5.4 = 20\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy diện tích của mảnh đất là: \(S = ab = 5.20 = 100\;{m^2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn theo yêu cầu của đề bài.

- Lập tỉ lệ thức theo giả thiết của bài toán.

- Biến đổi các biểu thức đã có để tìm ra giá trị của ẩn.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là a và b (m). \(\left( {0 < a < b < 35} \right).\)

Chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là 70 m, ta có: 2(a + b) = 70 \( \Leftrightarrow \)a + b = 35                 

Tỉ số giữa 2 cạnh của nó là \(\frac{3}{4}\), suy ra: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{4}\)    

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{{a + b}}{{3 + 4}} = \frac{{35}}{7} = 5.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5.3 = 15\;\;\left( {tm} \right)\\b = 5.4 = 20\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là 15 (m) và 20 (m)

\( \Rightarrow \) Diện tích của mảnh vườn là: \(15.20 = 300\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)  

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết:

Từ \(\frac{1}{c} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\) ta có \(\frac{1}{c} = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}}} \right) = \frac{{a + b}}{{2ab}}\)

 Hay \(2ab = c.(a + b) = ac + bc\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow ab + ab = ac + bc\\ \Rightarrow ab - bc = ac - ab\\ \Rightarrow b(a - c) = a(c - b)\\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{{a - c}}{{c - b}}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\). Từ đó suy ra tỉ số \(\frac{x}{y}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{{2x - y}}{{x + y}} = \frac{2}{3}\)

nên \(3\left( {2x - y} \right) = 2\left( {x + y} \right)\)

\(6x - 3y = 2x + 2y\)

\(6x - 2x = 2y + 3y\)

\(4x = 5y\)

 \(\frac{x}{y} = \frac{5}{4}\)

Vậy \(\frac{x}{y} = \frac{5}{4}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Phân tích \(\frac{t}{y} = \frac{t}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y}\) .

+ Từ giả thiết ta tính được các tỉ số \(\frac{x}{z};\,\frac{z}{y}\)

+ Từ đó tính được \(\frac{t}{y}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{t}{y} = \frac{t}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y}\)

Vì \(\frac{z}{x} = \frac{1}{6}\) nên \(\frac{x}{z} = 6\); \(\frac{y}{z} = \frac{3}{2}\) nên \(\frac{z}{y} = \frac{2}{3}\)

Nên ta có \(\frac{t}{y} = \frac{t}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y} = \frac{4}{3}.6.\frac{2}{3} = \frac{{16}}{3}\)

Vậy \(\frac{t}{y} = \frac{{16}}{3}\) .

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\) để từ đó rút ra tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

 \(\frac{3}{{1 - 2x}} = \frac{{ - 5}}{{3x - 2}}\)

\(3.(3x - 2) =  - 5.(1 - 2x)\)

\(9x - 6 =  - 5 + 10x\)

\( - 6 + 5 = 10x - 9x\)

    \(x =  - 1\)

Vậy \(x =  - 1\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Từ giả thiết biến đổi để tìm được \(y\), từ đó thay \(y\) vào \(\frac{x}{y} = 16\) để tìm \(x\) .

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{x}{{{y^2}}} = 2\) nên \(\frac{x}{y}.\frac{1}{y} = 2\)  mà \(\frac{x}{y} = 16\) , do đó:

\(16.\frac{1}{y} = 2\)

\(\frac{1}{y} = \frac{1}{8}\)

\(y = 8\)

Thay \(y = 8\) vào \(\frac{x}{y} = 16\) ta được: \(\frac{x}{8} = 16\) suy ra \(x = 16.8 = 128\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc\) để từ đó rút ra tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\frac{{ - 1}}{2}:(2x - 1) = 0,2:\frac{{ - 3}}{5}\\\,\,\,\,\,\frac{{ - 1}}{2}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{1}{5}:\frac{{ - 3}}{5}\\\,\,\,\,\,\,\frac{{ - 1}}{2}:\left( {2x - 1} \right) = \frac{{ - 1}}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x - 1 = \frac{{ - 1}}{2}:\frac{{ - 1}}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x - 1 = \frac{3}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{2}:2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{4}\end{array}\)

b. \(\frac{16}{x}=\frac{x}{25}\)

\(\begin{align} & {{x}^{2}}=16.25 \\ & {{x}^{2}}=400 \\ \end{align}\)

Suy ra \(x=20\) hoặc \(x=-20\)

Vậy \(x=20\) hoặc \(x=-20\)

c. \(\frac{3}{1-2x}=\frac{-5}{3x-2}\)

   \(\begin{align} & 3.(3x-2)=-5.(1-2x) \\ & 9x-6=-5+10x \\ & -6+5=10x-9x \\ & x=-1 \\\end{align}\)

Vậy \(x=-1\)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\) để từ đó rút ra tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{ - 1}}{2}:(2x - 1) = 0,2:\frac{{ - 3}}{5}\)

\(\frac{{\frac{{ - 1}}{2}}}{{2x - 1}} = \frac{{0,2}}{{\frac{{ - 3}}{5}}}\)

 \(0,2.(2x - 1) = \frac{{ - 1}}{2}.\frac{{ - 3}}{5}\)

\(2x - 1 = \frac{3}{{10}}:0,2\)

\(2x - 1 = \frac{3}{2}\)

\(x = \frac{5}{4}\)

Vậy \(x = \frac{5}{4}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\) để từ đó rút ra tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = 16.25\\{x^2} = 400\end{array}\)

Suy ra \(x = 20\) hoặc \(x =  - 20\)

Vậy \(x = 20\) hoặc \(x =  - 20\).

Có 1 giá trị \(x\) thỏa mãn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đối tỉ lệ thức đã cho về dạng đơn giản hơn.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Dùng phương pháp đặt tỉ số \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=bk \\ & c=dk \\\end{align} \right.\) để tính \(k\Rightarrow x,y,z\).                                          

Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x=2k \\  & y=3k \\ & z=4k \\ \end{align} \right.\), khi đó:

\(\begin{align}& {{\left( 2k \right)}^{2}}+2.{{\left( 3k \right)}^{2}}-3{{\left( 4k \right)}^{2}}=-650 \\& 4{{k}^{2}}+18{{k}^{2}}-48{{k}^{2}}=-650 \\ & -26{{k}^{2}}=-650 \\ & {{k}^{2}}=25 \\ & k=\pm 5 \\\end{align}\)

Nếu \(k=5\) thì \(x=10;y=15;z=20\).

Nếu \(k=-5\) thì \(x=-10;y=-15;z=-20\).

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình đã cho một cách phù hợp để tìm ra điều cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{1}{c} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \Leftrightarrow \frac{2}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{c} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{c} - \frac{1}{a} = \frac{1}{b} - \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{c.a}} - \frac{c}{{a.c}} = \frac{c}{{b.c}} - \frac{b}{{c.b}}\\ \Leftrightarrow \frac{{a - c}}{{ac}} = \frac{{c - b}}{{bc}}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a - c}}{{c - b}} = \frac{{ac}}{{bc}} = \frac{a}{b}\) (điều phải chứng minh)  (Theo tính chất tỉ lệ thức)

Phương pháp giải:

Từ kết quả \(\frac{{c - a}}{7} = \frac{{b - c}}{8}\) ta biến đổi được \(8a + 7b = 15c\). Từ giả thiết ta tìm cách để biến đổi được thành kết quả đó là có được cách chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(3\left( {a + b} \right) = 2\left( {b + c} \right) \Leftrightarrow 3a + 3b = 2b + 2c \Leftrightarrow 3a + b = 2c \Leftrightarrow 12a + 4b = 8c\) (1)

\(3\left( {a + b} \right) = 7\left( {c + a} \right) \Leftrightarrow 3a + 3b = 7c + 7a \Leftrightarrow  - 4a + 3b = 7c\) (2)

Cộng lần lượt hai vế của (1) và (2) với nhau ta được:

\(8a + 7b = 15c \Leftrightarrow 8a + 7b = 8c + 7c \Leftrightarrow 8c - 8a = 7b - 7c\)

\( \Leftrightarrow 8\left( {c - a} \right) = 7\left( {b - c} \right) \Leftrightarrow \frac{{c - a}}{7} = \frac{{b - c}}{8}\) (đpcm)

Phương pháp giải:

Nhân vào cả tử và mẫu mỗi phân thức ở đề bài để khi sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau sẽ giản ước được hết, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Cho \(\frac{{2bz - 3cy}}{a} = \frac{{3cx - az}}{{2b}} = \frac{{ay - 2bx}}{{3c}}\)

Chứng minh: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{{2b}} = \frac{z}{{3c}}\).

Ta có: \(\frac{{2bz - 3cy}}{a} = \frac{{3cx - az}}{{2b}} = \frac{{ay - 2bx}}{{3c}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2abz - 3acy}}{{{a^2}}} = \frac{{6bcx - 2abz}}{{4{b^2}}} = \frac{{3acy - 6bcx}}{{9{c^2}}} = \frac{{2abz - 3acy + 6bcx - 2abz + 3acy - 6bcx}}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} = \frac{0}{{{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}}} = 0\)

(Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2abz - 3acy}}{{{a^2}}} = 0\\\frac{{6bcx - 2abz}}{{4{b^2}}} = 0\\\frac{{3acy - 6bcx}}{{9{c^2}}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2bz = 3cy\\3cx = az\\ay = 2bx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{z}{{3c}} = \frac{y}{{2b}}\\\frac{x}{a} = \frac{y}{{2b}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{{2b}} = \frac{z}{{3c}}\)  (đpcm).

Phương pháp giải:

Ta thấy ở biểu thức cần chứng minh đều có \({c^2}\). Từ đẳng thức đề bài cho ta biểu diện được c theo a và b, cụ thể là: \({c^2} = ab\) thay vào vế trái của biểu thức cần chứng minh rồi đặt thừa số chung, sau đó rút gọn, ta được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết:

 Từ \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b} \Rightarrow {c^2} = a.b\) khi đó: \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{a^2} + a.b}}{{{b^2} + a.b}} = \frac{{a\left( {a + b} \right)}}{{b\left( {a + b} \right)}} = \frac{a}{b}\)

Vậy với \(\frac{a}{c} = \frac{c}{b}\) thì \(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{a}{b}.\)

\(\)