Đề thi toán 11, đề kiểm tra toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 3

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Nghiệm của phương trình $\sin x.\cos x = 0$ là:

A.

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B.

$x = \dfrac{k\pi }{2}$.
C.

$x = k2\pi $.
D.

$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.

Câu 2 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A.

$y = \sin x$
B.

$y = \cos x$
C.

$y = \sin 2x$
D.

$y = \cot x$

Câu 3 :

Tính tổng các nghiệm của phương trình $2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$ trên $\left( { - \pi ;\pi } \right)$.

A.

$\dfrac{{2\pi }}{3}$
B.

$\dfrac{\pi }{3}$
C.

$\dfrac{{4\pi }}{3}$
D.

$\dfrac{{7\pi }}{3}$

Câu 4 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x$:

A.

$\max y = 4;\min y = \dfrac{3}{4}$
B.

$\max y = 3;\min y = 2$
C.

$\max y = 4;\min y = 2$
D.

$\max y = 3,\min y = \dfrac{3}{4}$

Câu 5 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = - 1$ là:

A.

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B.

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C.

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D.

$x = - \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 6 :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng:

A.

$\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$
B.

$\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$
C.

$\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$
D.

$R$

Câu 7 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

A.

$y = {x^2} - \sin x$
B.

$y = {x^2} + \sin x$
C.

$y = {x^3} - \sin x$
D.

$y = \cos x - {x^2}$

Câu 8 :

Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là:

A.

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
B.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
C.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
D.

$R$

Câu 9 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A.

$m = - 3$
B.

$m = - 2$
C.

$m = 0$
D.

$m = 3$

Câu 10 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A.

$\max y = 6;\min y = - 2$
B.

$\max y = 4;\min y = - 4$
C.

$\max y = 6;\min y = - 4$
D.

$\max y = 6;\min y = - 1$

Câu 11 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C.

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D.

$R$

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sin 3x = \cos x$ là:

A.

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B.

$x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C.

$x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D.

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Nghiệm của phương trình $\sin x.\cos x = 0$ là:

A.

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B.

$x = \dfrac{k\pi }{2}$.
C.

$x = k2\pi $.
D.

$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi $2\sin x. \cos x =\sin 2x$ đưa về phương trình lượng giác cơ bản đối với $\sin 2x$.

Bước 2: Sử dụng công thức $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x = 0$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 2 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A.

$y = \sin x$
B.

$y = \cos x$
C.

$y = \sin 2x$
D.

$y = \cot x$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Các hàm số sin, cos đều có đồ thị là đường hình sin nên các đáp án A, B, C đều có đồ thị là đường hình sin.

Câu 3 :

Tính tổng các nghiệm của phương trình $2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1$ trên $\left( { - \pi ;\pi } \right)$.

A.

$\dfrac{{2\pi }}{3}$
B.

$\dfrac{\pi }{3}$
C.

$\dfrac{{4\pi }}{3}$
D.

$\dfrac{{7\pi }}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Giải phương trình $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi $.

- Tìm các nghiệm của phương trình thỏa mãn $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ rồi tính tổng.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Với $ - \pi < x < \pi $ thì $\left[ \begin{array}{l} - \pi < \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{{5\pi }}{3} < k2\pi < \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6} \Rightarrow k = 0\\ - \pi < k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3}\\x = 0\end{array} \right.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ là $\dfrac{{2\pi }}{3}$.

Câu 4 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x$:

A.

$\max y = 4;\min y = \dfrac{3}{4}$
B.

$\max y = 3;\min y = 2$
C.

$\max y = 4;\min y = 2$
D.

$\max y = 3,\min y = \dfrac{3}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ và công thức ${\cos ^2}2x=(\cos 2x)^2$

Bước 2: Biến đổi hàm số về tam thức bậc hai ẩn $t = \cos 2x$.

Bước 3: Sử dụng kiến thức về hàm bậc hai $y=ax^2+bx+c$ để đánh giá GTLN, GTNN của $y=f(x)$ trên [c;d]

+) Tìm $f(c),f(d)$ và f tại đỉnh của parabol $x=-\dfrac{b}{2a}$

+) GTLN và GTNN của 3 số tìm được chính là GTLN và GTNN của hàm số ban đầu.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Theo công thức hạ bậc ta có: $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$

=>$y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x$$ = 1 - \cos 2x + {\cos ^2}2x$

$=(\cos 2x)^2- \cos 2x +1$

Bước 2:

Đặt $t = \cos 2x;t \in \left[ { - 1;1} \right]$ ta được $y = f\left( t \right) = {t^2} - t + 1;t \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Bước 3:

Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - t + 1$ trên đoạn $ \in \left[ { - 1;1} \right]$.

$ \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};f\left( { - 1} \right) = 3$

Số lớn nhất là $3$, số nhỏ nhất là $\dfrac{3}{4}$.

$ \Rightarrow \max y = 3;\min y = \dfrac{3}{4}$.

Câu 5 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = - 1$ là:

A.

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B.

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C.

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D.

$x = - \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 6 :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng:

A.

$\left( {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$
B.

$\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$
C.

$\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$
D.

$R$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$

Câu 7 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?

A.

$y = {x^2} - \sin x$
B.

$y = {x^2} + \sin x$
C.

$y = {x^3} - \sin x$
D.

$y = \cos x - {x^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn nếu $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$, là hàm số lẻ nếu $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.

$\sin(-x)=-\sin x$; $\cos (-x)=\cos x$

$(-x)^2=x^2$;

$(-x)^3=-x^3$

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: $y(x) = {x^2} - \sin x$

$ \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \sin \left( { - x} \right) = {x^2} + \sin x$

Ta có:

${x^2} + \sin x \ne{x^2} - \sin x $$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$

${x^2} + \sin x \ne-{x^2}+ \sin x $$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$

=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Đáp án B: $y = {x^2} + \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sin \left( { - x} \right) = {x^2} - \sin x$

Ta có:

${x^2} - \sin x \ne{x^2} + \sin x $$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$

${x^2} - \sin x \ne-{x^2}- \sin x $$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$

=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Đáp án C: $y = {x^3} - \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \sin \left( { - x} \right) = - {x^3} + \sin x = - y\left( x \right)$

=>$y(-x)=-y(x)$

=> Hàm số là lẻ.

Đáp án D: $y = \cos x - {x^2} \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - {\left( { - x} \right)^2} = \cos x - {x^2} = y\left( x \right)$

=>$y(-x)=y(x)$

=> Hàm số là chẵn.

Câu 8 :

Hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là:

A.

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
B.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
C.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
D.

$R$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Hàm $y = \sin x$ có TXĐ $D = R$.

Câu 9 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A.

$m = - 3$
B.

$m = - 2$
C.

$m = 0$
D.

$m = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm nếu $\left| m \right| \le 1$ và vô nghiệm nếu $\left| m \right| > 1$

Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại

Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại

Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận

Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại

Câu 10 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A.

$\max y = 6;\min y = - 2$
B.

$\max y = 4;\min y = - 4$
C.

$\max y = 6;\min y = - 4$
D.

$\max y = 6;\min y = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Lời giải chi tiết :

$y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 $$= 3\sin x + 4\cos x$

${\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}$

Ta coi $a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x$

Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:

${\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}$$ \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1$

$ \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5$

$ \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6$

Vậy $\max y = 6;\min y = - 4$

Câu 11 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B.

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C.

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D.

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\tan x.\cot x = 1$ nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Do $\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D$ nên tập nghiệm của phương trình là $R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Câu 12 :

Nghiệm của phương trình $\sin 3x = \cos x$ là:

A.

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B.

$x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C.

$x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
D.

$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = \sin y$ hoặc $\cos x = \cos y$

Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$

- Giải phương trình lượng giác cơ bản:

$\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. $

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.