Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết rằng A(1;2;0), A’(1;0;1), B(1;5;1), D’(0;-2;0).

a) Đúng. Tọa độ vecto \(\overrightarrow {AA'} \) là \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {1 - 1;0 - 2;1 - 0} \right) = \left( {0; - 2;1} \right)\).

b) Sai. \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {0; - 2;1} \right) = \overrightarrow {BB'} \); \(B\left( {1;5;1} \right) \Rightarrow B'\left( {1;3;2} \right)\).

\(\overrightarrow {A'D'}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right) = \overrightarrow {BC} \); \(B\left( {1;5;1} \right) \Rightarrow C\left( {0;3;0} \right)\).

c) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} \left( {0;3;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \].

\(\overrightarrow {AA'}  = \left( {0; - 2;1} \right) = \overrightarrow {CC'} \); \(C\left( {0;3;0} \right) \Rightarrow C'\left( {0;1;1} \right) \Rightarrow AC' = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 3 \).

d) Sai. Ta có:

\(P = \,M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\)

\( = 4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2} = 4M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}\).

Do đó, P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\)nhỏ nhất hay \(M \equiv I\).

\(\overrightarrow {A'D'}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right) = \overrightarrow {AD} \); \(A\left( {1;2;0} \right) \Rightarrow D\left( {0;0; - 1} \right)\).

\(I\) là trung điểm \(BD\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{5 + 0}}{2};\frac{{1 - 1}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2};0} \right)\) hay \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2};0} \right)\).