Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) thì \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5;\)
\(\overrightarrow {AC} \left( { - 2;3;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + {6^2}} = 7\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
b) Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{3.\left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \frac{{ - 18}}{{35}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) \approx 120,{9^0}\)
Nên \(\widehat {BAC} = {180^0} - 120,{9^0} = 59,{1^0}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho các điểm A(–1; –1; 0), B(0; 3; –1), C(–1; 14; 0), D(–3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C′(4; 5; –5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (3;6;9)\).
Cho điểm \(A\left( {3; - 1;1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là điểm
A. \(M\left( {3;0;0} \right)\).
B. \(N\left( {0; - 1;1} \right)\).
C. \(P\left( {0; - 1;0} \right)\).
D. \(Q\left( {0;0;1} \right)\).
Cho điểm \(M\left( { - 3;2; - 1} \right)\) và điểm \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Toạ độ của điểm \(M'\) là
A. \(\left( { - 3;2;1} \right)\).
B. \(\left( {3;2;1} \right)\).
C. \(\left( {3;2; - 1} \right)\).
D. \(\left( {3; - 2; - 1} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) trên trục \(Oz\) có toạ độ là
A. \(\left( {2;1;0} \right)\).
B. \(\left( {0;0; - 1} \right)\).
C. \(\left( {2;0;0} \right)\).
D. \(\left( {0;1;0} \right)\).
Cho điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right)\) và điểm \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục \(Oy\). Toạ độ của điểm \(A'\) là
A. \(\left( {3; - 1; - 2} \right)\).
B. \(\left( {3; - 1;2} \right)\).
C. \(\left( {3;1; - 2} \right)\).
D. \(\left( { - 3; - 1;2} \right)\).
