Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’ (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng cos[B,MN,D’] = m, tính giá trị 14m.
Đáp án:
Đáp án:
Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của B, D’ trên MN.
Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’, suy ra M(1;2;0), N(0;0;1).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\) \( \Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Gọi \(H\left( {t;2t;1 - t} \right)\), \(H'\left( {u;2u;1 - u} \right)\) theo thứ tự là hình chiếu của B, D’ trên MN.
\(\overrightarrow {BH} \left( {t - 2;2t;1 - t} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {u;2u - 2; - 1 - u} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - t - 4t + 1 - t = 0\\ - u - 4u + 4 - 1 - u = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} \left( { - \frac{3}{2};1;\frac{1}{2}} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] = \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right) = \frac{{ - \frac{3}{4} - 1 - \frac{3}{4}}}{{\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} .\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} }} = - \frac{5}{7}\)
\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] = - \frac{5}{7} = m \Rightarrow 14m = - 10\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Cho các điểm A(–1; –1; 0), B(0; 3; –1), C(–1; 14; 0), D(–3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C′(4; 5; –5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (3;6;9)\).
Cho điểm \(A\left( {3; - 1;1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là điểm
A. \(M\left( {3;0;0} \right)\).
B. \(N\left( {0; - 1;1} \right)\).
C. \(P\left( {0; - 1;0} \right)\).
D. \(Q\left( {0;0;1} \right)\).
Cho điểm \(M\left( { - 3;2; - 1} \right)\) và điểm \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Toạ độ của điểm \(M'\) là
A. \(\left( { - 3;2;1} \right)\).
B. \(\left( {3;2;1} \right)\).
C. \(\left( {3;2; - 1} \right)\).
D. \(\left( {3; - 2; - 1} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) trên trục \(Oz\) có toạ độ là
A. \(\left( {2;1;0} \right)\).
B. \(\left( {0;0; - 1} \right)\).
C. \(\left( {2;0;0} \right)\).
D. \(\left( {0;1;0} \right)\).
Cho điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right)\) và điểm \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục \(Oy\). Toạ độ của điểm \(A'\) là
A. \(\left( {3; - 1; - 2} \right)\).
B. \(\left( {3; - 1;2} \right)\).
C. \(\left( {3;1; - 2} \right)\).
D. \(\left( { - 3; - 1;2} \right)\).
