Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {0; - 2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right)\). Tính sin góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(\sqrt {\dfrac{{19}}{{26}}} \)
-
C.
\(\sqrt {\dfrac{1}{2}} \)
-
D.
\(\sqrt {\dfrac{{17}}{{26}}} \)
Sử dụng công thức tính sin góc hợp bởi hai véc tơ \(\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {0; - 2;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \\\overrightarrow {OB} = \left( {1;0; - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \end{array}\)
Suy ra $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;3;2} \right) $
$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {17}$
Do đó \(\sin \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{\sqrt {13} .\sqrt 2 }} = \sqrt {\dfrac{{17}}{{26}}} \)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Tích có hướng của hai véc tơ là:
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Kí hiệu \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\), khi đó:
Tính tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u \left( {0;1; - 1} \right),\overrightarrow v \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Cho $\overrightarrow u $ là véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Chọn nhận xét đúng:
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), khi đó:
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương là:
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương. Điều kiện nào sau đây “không” đúng?
Hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;1;b} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;2;c} \right)\) cùng phương thì:
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), chọn kết luận sai:
Cho ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) thỏa mãn \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0\). Khi đó ba véc tơ đó:
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\) là góc hợp bởi hai véc tơ. Chọn mệnh đề đúng:
Sin của góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là:
Cho \(A,B,C\) là ba đỉnh của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác \(ABC\) là:
Diện tích tam giác \(OBC\) biết \(B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)\) là:
Diện tích hình bình hành \(ABCD\) được tính theo công thức:
Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\)?
Diện tích hình bình hành \(ABCD\) có các điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1;0;0} \right)\) là:
Thể tích khối tứ diện được tính theo công thức:
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), tính thể tích khối tứ diện \(OBCD\) biết \(B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)\).
Công thức tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
