Cho bốn số thực \(a,b,c,d\) là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}\).

Vì ba số thực \(a,b,c\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

\(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow c = 2b - a\left( 1 \right)\)

Vì ba số thực \(b,c,d\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:

\(c = \frac{{b + d}}{2} \Leftrightarrow b + d = 2c \Leftrightarrow d = 2c - b = 2\left( {2b - a} \right) - b = 4b - 2{\rm{a}} - b = 3b - 2{\rm{a}}\left( 2 \right)\)

Tổng của bốn số thực \(a,b,c,d\) bằng 4 nên ta có:

\(\begin{array}{l}a + b + c + d = 4 \Leftrightarrow a + b + \left( {2b - a} \right) + \left( {3b - 2{\rm{a}}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 6b - 2{\rm{a}} = 4 \Leftrightarrow 3b - a = 2 \Leftrightarrow a = 3b - 2\end{array}\)

Thế \(a = 3b - 2\) vào (1) ta được: \(c = 2b - \left( {3b - 2} \right) = 2 - b\)

Thế \(a = 3b - 2\) vào (2) ta được: \(d = 3b - 2\left( {3b - 2} \right) = 3b - 6b + 4 = 4 - 3b\)

Tổng các bình phương của bốn số thực \(a,b,c,d\) bằng 24 nên ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 24 \Leftrightarrow {\left( {3b - 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {\left( {4 - 3b} \right)^2} = 24\\ \Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2} = 24\\ \Leftrightarrow 20{b^2} - 40b = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(b = 0\) ta có: \(a = 3.0 - 2 =  - 2;c = 2 - 0 = 2;d = 4 - 3.0 = 4\)

Vậy \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {0^3} + {2^3} + {4^3} = 64\)

Với \(b = 2\) ta có: \(a = 3.2 - 2 = 4;c = 2 - 2 = 0;d = 4 - 3.2 =  - 2\)

Vậy \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = {4^3} + {2^3} + {0^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 64\)