Cho bốn số thực \(a,b,c,d\) là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}\).
-
A.
\(P = 79\).
-
B.
\(P = 16\).
-
C.
\(P = 80\).
-
D.
\(P = 64\).
Sử dụng nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trử số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\).
Vì ba số thực \(a,b,c\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b \Leftrightarrow c = 2b - a\left( 1 \right)\)
Vì ba số thực \(b,c,d\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\(c = \frac{{b + d}}{2} \Leftrightarrow b + d = 2c \Leftrightarrow d = 2c - b = 2\left( {2b - a} \right) - b = 4b - 2{\rm{a}} - b = 3b - 2{\rm{a}}\left( 2 \right)\)
Tổng của bốn số thực \(a,b,c,d\) bằng 4 nên ta có:
\(\begin{array}{l}a + b + c + d = 4 \Leftrightarrow a + b + \left( {2b - a} \right) + \left( {3b - 2{\rm{a}}} \right) = 4\\ \Leftrightarrow 6b - 2{\rm{a}} = 4 \Leftrightarrow 3b - a = 2 \Leftrightarrow a = 3b - 2\end{array}\)
Thế \(a = 3b - 2\) vào (1) ta được: \(c = 2b - \left( {3b - 2} \right) = 2 - b\)
Thế \(a = 3b - 2\) vào (2) ta được: \(d = 3b - 2\left( {3b - 2} \right) = 3b - 6b + 4 = 4 - 3b\)
Tổng các bình phương của bốn số thực \(a,b,c,d\) bằng 24 nên ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 24 \Leftrightarrow {\left( {3b - 2} \right)^2} + {b^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {\left( {4 - 3b} \right)^2} = 24\\ \Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2} = 24\\ \Leftrightarrow 20{b^2} - 40b = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(b = 0\) ta có: \(a = 3.0 - 2 = - 2;c = 2 - 0 = 2;d = 4 - 3.0 = 4\)
Vậy \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = {\left( { - 2} \right)^3} + {0^3} + {2^3} + {4^3} = 64\)
Với \(b = 2\) ta có: \(a = 3.2 - 2 = 4;c = 2 - 2 = 0;d = 4 - 3.2 = - 2\)
Vậy \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} = {4^3} + {2^3} + {0^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 64\)
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\). Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2\) và \({u_2} = 3\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Chọn đáp án đúng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = - 3\). Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5,d = 3\). Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có: \({u_1} = - 1,d = 2,{S_n} = 483\). Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?
Cho cấp số cộng có \({u_4} = - 12,{u_{14}} = 18\). Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là:
Tìm công sai của cấp số cộng có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 14\\{S_{12}} = 129\end{array} \right.\)
Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_4} - {u_6} = - 7\\{u_8} - {u_7} = 2{u_4}\end{array} \right.\)
Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng.
Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai \(d = {4^ \circ }\). Tìm góc nhỏ nhất của đa giác đó.
Cho cấp số cộng có \({u_4} = - 12,{u_{14}} = 18\). Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên cấp số cộng là?
Ông Sơn trồng cây trên một mãnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…, ở hàng thứ \(n\) có \(n\) cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Cho \(a,b,c\) lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Cho miếng giấy hình tam giác \(ABC\). Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là \({T_1}\). Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt \({T_1}\) là \({T_2}\)… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \({T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},...\) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\).
