Cho miếng giấy hình tam giác \(ABC\). Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là \({T_1}\). Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt \({T_1}\) là \({T_2}\)… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \({T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},...\) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\).
-
A.
301.
-
B.
\({4.3^{99}}\).
-
C.
15250.
-
D.
\(\frac{{4\left( {{3^{100}} - 1} \right)}}{{99}}\).
Sử dụng định lí: Giả sử \({u_n}\) là một cấp số công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Ở lần cắt đầu tiên có \({T_1} = 4\) tam giác.
Ở lần cắt thứ hai có \({T_1} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có \({T_2} = \left( {{T_1} - 1} \right) + 4 = {T_1} + 3\) tam giác.
Ở lần cắt thứ ba có \({T_2} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có \({T_3} = \left( {{T_2} - 1} \right) + 4 = {T_2} + 3\) tam giác.
…
Ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_{n - 1}} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_n} = \left( {{T_{n - 1}} - 1} \right) + 4 = {T_{n - 1}} + 3\) tam giác.
Vậy dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({T_1} = 4\) và công sai \(d = 3\).
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là:
\({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{T_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.3} \right]}}{2} = 15250\)
Đáp án : C
Danh sách bình luận