Gọi nghiệm lớn nhất trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) của phương trình \({\sin ^2}x + {\cos ^2}4x = 1\) có dạng \({x_0} = \frac{{\pi a}}{b}\). Tính giá trị biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).
-
A.
\(29\).
-
B.
\(41\).
-
C.
\(34\).
-
D.
\(13\).
Biến đổi phương trình về dạng cơ bản bằng cách sử dụng công thức lượng giác
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\{\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\end{array} \right.\)
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}4x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}4x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 8x = \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{{l\pi }}{5}\end{array} \right.;\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k\frac{\pi }{3} < \pi \\0 < k\frac{\pi }{5} < \pi \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k < 3 \Rightarrow k = 1;k = 2\\0 < l < 5 \Rightarrow l = 1;l = 2;l = 3;l = 4;l = 5\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3};\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{3\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}} \right\}\)
Suy ra nghiệm lớn nhất là \({x_0} = \frac{{4\pi }}{5} \Leftrightarrow P = 41\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\) là
Nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{{12}}\) là
Nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}\) là
Giải phương trình \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0\).
Tìm nghiệm của phương trình \(2\sin x - 3 = 0\).
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\).
Tìm số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2\pi ;4\pi } \right]\) của phương trình \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\).
Tìm tập nghiệm của phương trình \(\tan 3x + \tan x = 0\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\).
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4 - {x^2}} \sin 2x = 0\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\cot 2x.\cot x = 1\)
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}\sin x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 1\) có dạng \({x_0} = \frac{\pi }{m} + kn\pi ;\,\,k,m,n \in \mathbb{Z}\). Tính tổng \(S = m + n\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) của phương trình \(\left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - \cos x} \right) = {\sin ^2}x\).
Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){\cos ^2}x = m\) có nghiệm.
Tìm \(m\) để phương trình \(m{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = m - 1\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Tìm số nghiệm có dạng \(\frac{{m\pi }}{3},\,m \in \mathbb{Z}\) trên đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) của phương trình \(1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0\).
Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\).
Nhiệt độ ngoài trời ờ một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \(h(t) = 29 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}(t - 9)\)với \(h\) tính bằng độ \(\;{\rm{C}}\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ \({\rm{C}}\) và vào lúc mấy giờ?
(Theo https://www.sciencedirect.com/science/ article/abs/pii/0168192385900139)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + bx + c\)có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm nằm trong \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2};3\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( {\cos x + 1} \right) = \cos x + 1\)là
