Tìm \(m\) để phương trình \(m{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = m - 1\,\,\left( 1 \right)\) có nghiệm trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).

Vì \({\rm{cos}}x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 \Rightarrow \left( 1 \right)\) vô lý nên \({\cos ^2}x \ne 0\)  

Ta chia 2 vế của phương trình (1) cho \({\cos ^2}x\), ta được:

\(m{\tan ^2}x + 1 = \left( {m - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\tan ^2}x = m - 2\,\,\left( 2 \right)\)

(1) có nghiệm \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \) (2) có nghiệm \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow m - 2 \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow 2 < m < 3\)