Tính tổng \(S\) các nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) của phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\).
-
A.
\(S = \pi \).
-
B.
\(S = 2\pi \).
-
C.
\(S = \frac{\pi }{2}\).
-
D.
\(S = \frac{{5\pi }}{6}\).
Dùng công thức lượng giác biến đổi phương trình về dạng phương trình tích
\(3 - 4{\cos ^2}x = 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = 4{\sin ^2}x - 1 = (2\sin x - 1)(2\sin x + 1)\)
\(\begin{array}{l}\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = (2\sin x - 1)(2\sin x + 1)\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1 - 2\sin x - 1} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\sin 2x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\2\sin x.\cos x = \sin x\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \pi ; - \frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right\} \Leftrightarrow S = \pi \)
Đáp án : A
