Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $(d): 3x - 4y + 5 = 0$ và đường tròn $(C):$ \({x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 9 = 0.\) Tìm những điểm $M$ thuộc $(C)$ và $N$ thuộc $(d)$ sao cho $MN $ có độ dài nhỏ nhất.
-
A.
\(M\left( { - \dfrac{{11}}{5};\dfrac{{23}}{5}} \right),N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
B.
\(M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right),N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right),N\left( {1;2} \right)\)
-
D.
\(M\left( { - \dfrac{{11}}{5};\dfrac{{23}}{5}} \right),N\left( {1;2} \right)\)
Sử dụng bất đẳng thức tam giác \(IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R \Rightarrow MN\,\,\min \Leftrightarrow NI\,\,\min \)
Đường tròn $(C )$ có tâm \(I( - 1;3)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 9} = 1\).
Ta có: \(d(I;d) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2 > R\)
Suy ra \(d\) không cắt $(C ).$
Ta có \(IM + MN \ge IN \Leftrightarrow MN \ge IN - R\)\(\)
$MN $ min \( \Leftrightarrow \) $IN$ đạt min \( \Leftrightarrow \) $N$ là chân hình chiếu vuông góc của $I$ xuống đường thẳng $d.$
Giả sử \(N(a;b)\). Vì \(N \in d\) nên ta có $3a{\rm{ - }}4b{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ (1)
Mặt khác, ta có: $IN$ vuông góc với $d$ nên \(\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\). Mà \(\overrightarrow {IN} = \left( {a + 1;b - 3} \right),\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\). Suy ra ta có: \(4(a + 1) + 3(b - 3) = 0 \Leftrightarrow 4a + 3b - 5 = 0\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b - 5 = 0\\3a - 4b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{5}\\b = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Vì \(d(I;d) = 2R\) nên \(M\) là trung điểm của \(IN\). Do đó, tọa độ của \(M\) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + \dfrac{1}{5}} \right) = - \dfrac{2}{5}\\{y_M} = \dfrac{1}{2}\left( {3 + \dfrac{7}{5}} \right) = \dfrac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{{11}}{5}} \right)\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R$ có dạng:
Đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ được viết lại thành ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$. Khi đó biểu thức nào sau đây đúng?
Cho đường tròn có phương trình $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Phương trình nào là phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)?
Với điều kiện nào thì \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) biểu diễn phương trình đường tròn?
Với điều kiện nào của \(m\) thì phương trình sau đây là phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2(m + 2)x + 4my + 19m - 6 = 0\) ?
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\) là phương trình của đường tròn nào?
Cho đường tròn\((C):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Trong số các đường tròn có phương trình dưới đây, đường tròn nào đi qua gốc tọa độ \(O(0,0)\)?
Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm \(I(2; - 4)\) và đi qua điểm \(A(1;3)\) là:
Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\) có phương trình là:
Cho hai điểm \(A(6;2)\) và \(B( - 2;0).\) Phương trình đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$ là:
Phương trình đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm \(A(0;1),B(1;0)\) và có tâm nằm trên đường thẳng: \(x + y + 2 = 0\) là:
Phương trình đường tròn $(C)$ đi qua $3$ điểm \(A(0;2),B( - 2;0)\) và \(C(2;0)\) là:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng \({d_1}:x + y + 5 = 0,{d_2}:x + 2y - 7 = 0\) và tam giác $ABC$ có \(A(2;3)\), trọng tâm là $G(2;0),$ điểm $B$ thuộc \({d_1}\) và điểm $C$ thuộc \({d_2}\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A(0;4), B(2;4), C(4;0).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phương trình đường tròn \(\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} - 2mx + \left( {4m + 2} \right)y - 6m - 5 = 0\) (m là tham số). Tập hợp các điểm \({I_m}\) là tâm của đường tròn \(\left( {{C_m}} \right)\) khi m thay đổi là:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(({C_m}):{x^2} + {y^2} - 2mx - 4my - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Biết đường tròn \(({C_m})\) có bán kính bằng 5. Khi đó tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) là
