Phương trình đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm \(A(0;1),B(1;0)\) và có tâm nằm trên đường thẳng: \(x + y + 2 = 0\) là:

Giả sử điểm \(I({x_I};{y_I})\) là tâm của đường tròn $(C).$ Vì $I$ nằm trên đường thẳng \(x + y + 2 = 0\) nên ta có \({x_I} + {y_I} + 2 = 0\)   (1)

Vì đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {1;0} \right)\) nên ta có \(IA = IB\). Điều này tương đương với

\(I{A^2} = I{B^2}\)  hay

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_I}} \right)^2} + {\left( {1 - {y_I}} \right)^2} = {\left( {1 - {x_I}} \right)^2} + {\left( {{y_I}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x_I^2 + y_I^2 - 2{y_I} + 1 = x_I^2 - 2{x_I} + 1 + y_I^2\\ \Leftrightarrow {x_I} = {y_I}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \({x_I} = {y_I} =  - 1\). Suy ra \(I\left( { - 1; - 1} \right)\).

Mặt khác ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \) 

Vậy $(C)$ có dạng \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\)