Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a.\) Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\) là đường tròn cố định có bán kính \(R.\) Tính bán kính \(R\) theo \(a.\)
-
A.
\(R = \dfrac{a}{3}.\)
-
B.
\(R = \dfrac{a}{9}.\)
-
C.
\(R = \dfrac{a}{2}.\)
-
D.
\(R = \dfrac{a}{6}.\)
- Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)
- Xen điểm \(I\) và điểm \(G\) (trọng tâm tam giác \(ABC\)) vào đẳng thức bài cho và nhận xét tìm quỹ tích.
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)
Ta có \(2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} \)\( = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\)
Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 .\)
Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 3\,\overrightarrow {IG} .\)
Khi đó \(9\,\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {CA} \) \(\left( * \right)\)
Do đó \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) \( \Leftrightarrow 9MI = AB\)
Vì \(I\) là điểm cố định thỏa mãn \(\left( * \right)\) nên tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{9} = \dfrac{a}{9}.\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn phát biểu sai?
Cho vectơ $\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 ,{\rm{ }}\overrightarrow a = - 2\overrightarrow b {\rm{ }}{\rm{, }}\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$. Khi đó $\overrightarrow {GA} = $
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$. Khẳng định nào sau đây là sai:
Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho \(\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} \). Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow {AM} $ theo hai véctơ $\overrightarrow {AB} $và$\overrightarrow {AC} $ của tam giác \(ABC\) với trung tuyến $AM$.
Nếu \(G\) là trọng tam giác $ABC$ thì đẳng thức nào sau đây đúng.
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh $\;a\sqrt 2 $. Tính$S = \left| {2\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right|$?
Phát biểu nào là sai?
Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ lần lượt có trọng tâm là $G$ và $G'$. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
Biết rằng hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nhưng hai vec tơ \(2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + \left( {x - 1} \right)\overrightarrow b \) cùng phương. Khi đó giá trị của \(x\) là:
Cho tam giác $ABC$, điểm \(M\) thoả mãn: $5\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} $. Với mỗi điểm \(I\) bất kì, nếu $\overrightarrow {IA} = m\overrightarrow {IM} + n\overrightarrow {IB} $ thì cặp số $\left( {m;n} \right)$ bằng:
Cho tam giác $ABC$. Gọi \(M\) là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB = 3MC$. Khi đó, biễu diễn $\overrightarrow {AM} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ là:
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $CM{\rm{ }} = {\rm{ }}2MB$ và $I$ là trung điểm của$AB$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho hai điểm cố định \(A,B\); gọi \(I\) là trung điểm \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) thoả: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) là:
Tam giác \(ABC\) vuông tại $A,{\rm{ }}AB = AC = 2$. Độ dài vectơ $4\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} $bằng:
Cho tam giác $ABC$, tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left| {\,\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \,} \right| = 6$ là:
Cho hình thang ABCD có AB // CD và CD = 2AB, E là trung điểm của BC. F là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \). Tồn tại x sao cho \(\overrightarrow {MC} = x\overrightarrow {CD} \). Tìm x để M, E, F thẳng hàng.
