Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và lớn nhất $M$ của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + \sqrt {8 - x} .\)
-
A.
\(m = 0;\,\,M = 4\sqrt 5 .\)
-
B.
\(m = 2;\,\,M = 4.\)
-
C.
\(m = 2;\,\,M = 2\sqrt 5 .\)
-
D.
\(m = 0;\,\,M = 2 + 2\sqrt 2 .\)
- Bình phương hai vế của \(f\left( x \right)\) rồi đánh giá GTNN của \({f^2}\left( x \right)\).
- Sử dụng bất đẳng thức $\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} $ để đánh giá GTLN của \(f\left( x \right)\)
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\8 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 8\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ {4;8} \right].\)
- Ta có \({f^2}\left( x \right) = 3x - 8 + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} = 3\left( {x - 4} \right) + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} + 4.\)
Vì $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} \ge 0\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ {4;8} \right]$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \geqslant 4 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 2.\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy $m = 2.$
- Lại có, áp dụng bất đẳng thức Bunhia – Copxki cho bộ các số \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt {x - 4} ;\sqrt {8 - x} } \right)\) ta có :
\(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + 1.\sqrt {8 - x} \le \sqrt {\left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {x - 4} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {8 - x} } \right)}^2}} \right]} = \sqrt {5.4} = 2\sqrt 5 \)
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {x - 4} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {8 - x} }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{36}}{5}$
Vậy $M = 2\sqrt 5 .$
Vậy $m = 2,\,\,\,M = 2\sqrt 5 .$
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho bất đẳng thức$\left| {a - b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({x^2} + 3\left| x \right|\) với \(x \in \mathbb{R}\) là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} \). Kết luận nào sau đây đúng?
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì
Tìm mệnh đề đúng?
Suy luận nào sau đây đúng?
Cho biểu thức \(P = - a + \sqrt a \) với \(a \ge 0\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^2} - 5x + 9}}\) bằng
Cho hai số \(x\), \(y\) dương thoả \(x + y = 12\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho \(a > b > 0\) và \(x = \dfrac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}}\), \(y = \dfrac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho $a,b,c > 0$. Xét các bất đẳng thức sau:
(I) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$
(II) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3$
(III) $\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4$
Bất đẳng thức nào đúng?
Cho \(a < b < c < d\) và \(x = \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\), \(y = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right)\), \(z = \left( {a + d} \right)\left( {b + c} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}\) với \(x\; > \;1\) là
Cho \(x \ge 2\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x - 2} }}{x}\) bằng
Với \(a,b,c > 0\). Biểu thức \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} .\)
Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn ${x^2} + {y^2} - 3\left( {x + y} \right) + 4 = 0$. Tập giá trị của biểu thức \(S = x + y\) là:
Cho hai số thực dương \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) là:
Bất đẳng thức \({\left( {m + n} \right)^2} \ge 4mn\) tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
