Cho \(a > b > 0\) và \(x = \dfrac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}}\), \(y = \dfrac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(x > y\).
-
B.
\(x < y\).
-
C.
\(x = y\).
-
D.
Không so sánh được
- Xét hiệu \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}\), biến đổi về dạng tích.
- Xét dấu của hiệu dựa theo điều kiện của \(a,b\) suy ra kết luận.
Chú ý: \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow x < y\) với \(x,y > 0\)
Ta có: \(\dfrac{1}{x} = a + \dfrac{1}{{a + 1}}\) và \(\dfrac{1}{y} = b + \dfrac{1}{{b + 1}}\).
Suy ra: \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \left( {a - b} \right)\left[ {1 - \dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}}} \right]\)
Do \(a > b > 0\) nên \(a + 1 > 1\) và \(b + 1 > 1\) suy ra: \(\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} < 1\)\( \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)}} > 0\).
Vậy \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} > 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}\) do \(x > 0\) và \(y > 0\) nên \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y} \Leftrightarrow x < y\).
Đáp án : B
Danh sách bình luận