Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} $ là:
-
A.
$2$
-
B.
$ - \dfrac{{11}}{2}$
-
C.
$\dfrac{{11}}{2}$
-
D.
$\dfrac{5}{2}$
+ Phân tích từng vế của phương trình để xuất hiện nhân tử chung
+ Chia cả $2$ vế của phương trình cho $\sqrt {x + 1} $ với điều kiện $x > 1$
+ Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ được phương trình ẩn $t$
Điều kiện : $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$
Ta có: $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5} = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1} $
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5} = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}$
Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình trở thành:$\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7$
Điều kiện $2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge - \dfrac{7}{2}$
Phương trình:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$
+) Với $t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)$
Điều kiện $ - x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}$
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4} $ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4} $ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giả sử ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$
Theo Vi – et, ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 4 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{11}}{2}$
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình: $\sqrt {x - 1} = x - 3$ có tập nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} $ là:
Tập nghiệm của phương trình: $\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} + 1$
Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x - 2} - \dfrac{{x + 5}}{{\sqrt {7 - x} }} = 0$ là:
Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}}} + \sqrt {7 - 3{\rm{x}}} $ bằng:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} } + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} } = 1$ là:
Số nghiệm của phương trình$\sqrt {{{\rm{x}}^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1} = 1 - x$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = 3 + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} $là:
Số nghiệm của phương trình ${x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = 4\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6} $ là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 24}} + \sqrt {12 - x} = 6$là:
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} = 1 + \sqrt {3 + 2{\rm{x}} - {x^2}} $ là:
Tổng hai nghiệm của phương trình $5\sqrt x + \dfrac{5}{{2\sqrt x }} = 2{\rm{x}} + \dfrac{1}{{2{\rm{x}}}} + 4$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} = 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4} $ là:
Tổng các nghiệm của phương trình $4{x^2} - 12x - 5\sqrt {{4x^2} - 12x + 11} + 15 = 0$ bằng:
Tập nghiệm của phương trình ${x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} $ là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + {x^2} - 3{\rm{x + 1 = 0}}$ là:
Cho phương trình $2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 2\sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 10}}$ . Giả sử ${x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $A = \sqrt {{x_1}^2 + {x_2}^2 - 4{{\rm{x}}_1}.{x_2}} $
Số nghiệm của phương trình $3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} + 4\sqrt {4 - {x^2}} = 10 - 3{\rm{x}}$
Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \). Số phần tử của \(S\) là:
