Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0$ là:
-
A.
$3$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}} = - \sqrt[3]{{h(x)}}\,\,(1)\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}} \right)^3} = {\left( { - \sqrt[3]{{h(x)}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow f(x) + g(x) + 3\sqrt[3]{{f(x).g(x)}}\left( {\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt[3]{{g(x)}}} \right) = - h(x)\,\,(2)\end{array}$
Thay (1) vào (2) ta được $f(x) + g(x) - 3\sqrt[3]{{f(x).g(x).h(x)}} = - h(x)$
Giải phương trình ta tìm được $x$.
Ta có:
$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} = - \sqrt[3]{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}}} \right)^3} = {\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 + x + 2 + 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}\left[ {\sqrt[3]{{(x + 1)}} + \sqrt[3]{{(x + 2)}}} \right] = - x - 3\\ \Rightarrow 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}.\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right) = - 3x - 6\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} = x + 2\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3) = {(x + 2)^3}\\ \Leftrightarrow (x + 2)({x^2} + 4{\rm{x}} + 3 - {x^2} - 4{\rm{x}} - 4) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\end{array}$
Thay $x=-2$ lại phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -2$
Đáp án : D
Danh sách bình luận