Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} } + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} } = 1$ là:
-
A.
$\left\{ 3 \right\}$
-
B.
$\left[ {0;3} \right]$
-
C.
$\left( {0;3} \right)$
-
D.
$\left\{ {0;3} \right\}$
+ Phương trình có dạng: $\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = c$ trong đó $f(x) = {h^2}(x);\,\,\,g(x) = {k^2}(x)$
+ Khi đó phương trình được đưa về dạng $\sqrt {{h^2}(x)} + \sqrt {{k^2}(x)} = c \Leftrightarrow \left| {h(x)} \right| + \left| {k(x)} \right| = c$. Bỏ dấu trị tuyệt đối theo định nghĩa $A = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\begin{array}{*{20}{c}}A&{khi}&{A \ge 0}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{ - A}&{khi}&{A < 0}\end{array}\end{array} \right.$. Giải phương trình ta tìm được x
Điều kiện: $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$
Ta có:
$\begin{array}{l}x + 5 - 4\sqrt {x + 1} = x + 1 - 4\sqrt {x + 1} + 4 = {\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)^2}\\x + 2 - 2\sqrt {x + 1} = x + 1 - 2\sqrt {x + 1} + 1 = {\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)^2}\end{array}$
Phương trình:
$\begin{array}{l}\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} } + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} } = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x + 1} - 2} \right| + \left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$
+) Trường hợp 1: Nếu $\sqrt {x + 1} \ge 2 \Leftrightarrow x + 1 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1} - 2} \right| = \sqrt {x + 1} - 2\\\left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = \sqrt {x + 1} - 1\end{array} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {x + 1} - 1 = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)$
+) Trường hợp 2: Nếu $\sqrt {x + 1} \le 1 \Leftrightarrow x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1} - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = 1 - \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1} + 1 - \sqrt {x + 1} = 1 $ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)$
+) Trường hợp 3: Nếu $1 < \sqrt {x + 1} < 2$ $ \Leftrightarrow 1 < x + 1 < 4 $ $\Leftrightarrow 0 < x < 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1} - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = \sqrt {x + 1} - 1\end{array} \right.$
$(1) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 1} - 1 = 1$
$ \Leftrightarrow 1 = 1$ (luôn đúng với $\forall x \in (0; 3)$)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $[0; 3]$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Phương trình: $\sqrt {x - 1} = x - 3$ có tập nghiệm là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} $ là:
Tập nghiệm của phương trình: $\sqrt {3 - x} = \sqrt {x + 2} + 1$
Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x - 2} - \dfrac{{x + 5}}{{\sqrt {7 - x} }} = 0$ là:
Tích các nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 2} + \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}}} + \sqrt {7 - 3{\rm{x}}} $ bằng:
Số nghiệm của phương trình$\sqrt {{{\rm{x}}^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1} = 1 - x$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = 3 + \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} $là:
Số nghiệm của phương trình ${x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = 4\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6} $ là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{{x + 24}} + \sqrt {12 - x} = 6$là:
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 - x} }} = 1 + \sqrt {3 + 2{\rm{x}} - {x^2}} $ là:
Tổng hai nghiệm của phương trình $5\sqrt x + \dfrac{5}{{2\sqrt x }} = 2{\rm{x}} + \dfrac{1}{{2{\rm{x}}}} + 4$ là:
Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} = 2\sqrt {{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4} $ là:
Tổng các nghiệm của phương trình $4{x^2} - 12x - 5\sqrt {{4x^2} - 12x + 11} + 15 = 0$ bằng:
Tập nghiệm của phương trình ${x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} $ là:
Số nghiệm của phương trình $\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + {x^2} - 3{\rm{x + 1 = 0}}$ là:
Cho phương trình $2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 2\sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 10}}$ . Giả sử ${x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $A = \sqrt {{x_1}^2 + {x_2}^2 - 4{{\rm{x}}_1}.{x_2}} $
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} $ là:
Số nghiệm của phương trình $3\sqrt {x + 2} - 6\sqrt {2 - x} + 4\sqrt {4 - {x^2}} = 10 - 3{\rm{x}}$
Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \). Số phần tử của \(S\) là:
