Bài 6 trang 79 SGK Đại số 10


Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hệ quả: Hai số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

BĐT Cô si: Cho hai số dương a, b. Khi đó \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).

Lời giải chi tiết

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao nên \(HA.HB = O{H^2} = {1^2} = 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(AB = AH + HB \ge 2\sqrt {AH.HB}  \) \(= 2\sqrt 1  = 2\)

\(\Rightarrow A{B_{\min }} = 2 \Leftrightarrow HA = HB = 1\)

\(∆OAB\) có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên vuông cân: \(OA = OB\) và \(AB = 2\).

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông OAB ta có:

\(\begin{array}{l}
O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} + O{A^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow 2O{A^2} = {2^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} = 2\\
\Leftrightarrow OA = \sqrt 2
\end{array}\)

Mà A nằm trên tia Ox nên \(A(\sqrt 2; 0)\).

Lại có OB=OA nên \(OB = \sqrt 2 \).

Mà B nằm trên tia Oy nên \(B(0; \sqrt2)\).

Vậy \(A(\sqrt 2; 0)\) và \(B(0; \sqrt2)\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 26 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Bất đẳng thức

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài