Toán 11, giải toán lớp 11 chân trời sáng tạo Bài 1. Giới hạn của dãy số Toán 11 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 70 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo


Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Đề bài

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông \({H_0}\) cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông \({H_0}\) thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_1}\) (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của \({H_1}\) thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình \({H_2}\) (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình \({H_n}\left( {n = 1,2,3,...} \right)\).

Ta có: \({H_1}\) có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}\);

           \({H_2}\) có \(5.5 = {5^2}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{{3^2}}}\);…

Từ đó, nhận được hình \({H_n}\) có \({5^n}\) hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(\frac{1}{{{3^n}}}\).

a) Tính diện tích \({S_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {S_n}\).

b) Tính chu vi \({p_n}\) của \({H_n}\) và tính \(\lim {p_n}\).

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích \(\lim {S_n}\) và chu vi \(\lim {p_n}\)).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) và công thức tính giới hạn cơ bản: \(\lim {q^n} = 0\), với \(q\) là số thực thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Diện tích \({H_1}\) bằng \(5.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\);

Diện tích \({H_2}\) bằng \({5^2}.{\left( {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right)^2} = {5^2}.{\left( {\frac{1}{{{3^2}}}} \right)^2}\);

Diện tích \({H_3}\) bằng \({5^3}.{\left( {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^3}} \right)^2} = {5^3}.{\left( {\frac{1}{{{3^3}}}} \right)^2}\);

…

Diện tích \({H_n}\) bằng \({5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2}\).

\({S_n} = {5^n}.{\left( {\frac{1}{{{3^n}}}} \right)^2} = {5^n}.\frac{1}{{{9^n}}} = {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {S_n} = \lim {\left( {\frac{5}{9}} \right)^n} = 0\)

b) Ta có:

Chu vi \({H_1}\) bằng \(5.4.\frac{1}{3} = 4.\frac{5}{3}\);

Chu vi \({H_2}\) bằng \({5^2}.4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^2}\);

…

Chu vi \({H_n}\) bằng \({5^n}.4.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n}\).

\({p_n} = {5^n}.4.\frac{1}{{{3^n}}} = 4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n},n = 1,2,3,...\)

\(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right)\)

Vì \(\lim \frac{1}{{4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}.\lim {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 0\) và \(4.{\left( {\frac{5}{3}} \right)^n} > 0\) với mọi \(n\) nên \(\lim {p_n} = \lim \left( {4.{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^n}} \right) =  + \infty \).


Bình chọn:
4.1 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store