Tổng hợp công thức nguyên hàm - Toán 12

Ta có các tính chất cơ bản sau:

+ \(\int {kf(x)dx}  = k\int {f(x)dx} \) \((k \in \mathbb{R},k \ne 0)\);

+ \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx}  = \int {f(x)dx}  + \int {g(x)dx} \);

+ \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}  = \int {f(x)dx}  - \int {g(x)dx} \).

Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + \frac{2}{x}\);

b) \(g\left( x \right) = \sin x - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 1\);

c) \(h\left( x \right) = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 2\sqrt x + \sin x - 1\).

Giải:

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 2x + \frac{2}{x}} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx} - 2\int {xdx} + 2\int {\frac{{dx}}{x}} \).

\( = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2\ln \left| x \right| + C = {x^3} - {x^2} + 2\ln \left| x \right| + C\).

b) Ta có

\(\int {g\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 1} \right)dx} \)

\(= \int {\sin xdx} - 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} + \int {dx} =  - \cos x - 3\tan x + x + C\).

c) Ta có

\(\int {h\left( x \right)dx} = \int {\left[ {{{\left( {3x - 1} \right)}^2} - 2\sqrt x + \sin x - 1} \right]dx}\)

\(= \int {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} - 2\int {\sqrt x dx} + \int {\sin dx} - \int {dx} \)

\( = \frac{1}{3}\int {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}d\left( {3x - 1} \right)} - 2 \cdot \frac{2}{3}x\sqrt x + \cos x - x + C \)

\(= \frac{1}{9}{\left( {3x - 1} \right)^3} - \frac{4}{3}x\sqrt x + \cos x - x + C\).