Cách tìm hàm số F(x) biết đạo hàm f(x) và F(a) = b - Toán 12

Cho hàm số F(x) có đạo hàm là f(x) và F(a) = b.

Để tìm hàm số F(x), ta thực hiện:

Bước 1: Áp dụng các công thức nguyên hàm, tìm \(F(x) = \int {f(x)}  = g(x) + C\).

Bước 2: Giải phương trình \(F(a) = b \Leftrightarrow g(x) + C = b \Leftrightarrow C = b - g(x) = {C_0}\), tìm được \(C = {C_0}\).

Bước 3: Kết luận \(F(x) = g(x) + {C_0}\).

Tìm hàm số \(f\left( x \right)\), biết rằng:

a) \(f'\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} + 1\), \(f\left( 1 \right) = 0\).

b) \(f'\left( x \right) = 5\cos x - \sin x\), \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

c) \(f(x) = 2x - {e^x}\), \(F(0) = - 2\).

Giải:

a) \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} + 1} \right)dx} = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{2} - 2{{\rm{x}}^2} + x + C\).

\(f\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{1^4}}}{2} - {2.1^2} + 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\).

Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{{\rm{x}}^4}}}{2} - 2{{\rm{x}}^2} + x + \frac{1}{2}\).

b) \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {5\cos x - \sin x} \right)dx} = 5\sin x + \cos x + C\).

\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow 5\sin \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = - 4\).

Vậy \(f\left( x \right) = 5\sin x + \cos x - 4\).

c) \(F(x) = \int {(2x - {e^x})} dx = {x^2} - {e^x} + C\).

Với điều kiện \(F(0) = - 2\):

\(F(0) =  - {e^0} + C = - 1 + C =  - 2 \Rightarrow C =  - 1\).

Vậy \(F(x) = {x^2} - {e^x} - 1\).