Phương trình tương đương là gì? - Toán 11

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) = 0 tương đương với phương trình g(x) = 0 thì ta viết

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0\)

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

Để giải phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng:

- Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

\(f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) + h(x) = g(x) + h(x)\)

- Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

\(f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x).h(x) = g(x).h(x)\) \(\left( {h(x) \ne 0} \right)\)

Cách 1: Xét hai phương trình có cùng tập nghiệm hay không.

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến phương trình này thành phương trình kia.

Ví dụ minh hoạ:

1) Hai phương trình 2x + 6 = 0 và \({x^2} + 6x + 9 = 0\) có tương đương không?

Giải:

Tập nghiệm của phương trình 2x + 6 = 0 là \({S_1} = \{  - 3\} \).

Phương trình \({x^2} + 6x + 9 = 0\) được viết lại thành \({(x + 3)^2} = 0\), do đó tập nghiệm của nó là \({S_2} = \{  - 3\} \).

Vậy hai phương trình trên là tương đương.

2) Hai phương trình \({x^2} - 4 = 0\) và \({x^2} - 4x + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\) có tương đương không?

Giải:

Ta có x = 2 là một nghiệm của phương trình \({x^2} - 4 = 0\), nhưng không là nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\). Do đó, hai phương trình này không tương đương.