Công thức nghiệm để giải phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11

a) Tổng quát

TH1: \(\left| m \right| > 1\): Phương trình vô nghiệm.

TH2: \(\left| m \right| \le 1\): \(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - a + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng sin của các góc đặc biệt thì:

\(\sin x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

b) Trường hợp đặc biệt

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

a) Tổng quát

TH1: \(\left| m \right| > 1\): Phương trình vô nghiệm.

TH2: \(\left| m \right| \le 1\): \(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - a + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng cos của các góc đặc biệt thì:

\(\cos x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x =  - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

b) Trường hợp đặc biệt

\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \pi  + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng tan của các góc đặc biệt thì:

\(\tan x = m \Leftrightarrow x = \arctan m + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

\(\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng cot của các góc đặc biệt thì:

\(\cot x = m \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).