Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc ba - Toán 11

\(a{\sin ^3}x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d{\cos ^3}x = 0\).

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có phải nghiệm của phương trình hay không.

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d = 0\).

Chú ý: Dạng \(a{\sin ^3}x + b\sin x + c\cos x + d{\cos ^3}x = 0\)

\( \Leftrightarrow a\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + c\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + d = 0\)

\( \Leftrightarrow a{\tan ^3}x + b\tan x(1 + {\tan ^2}x) + c(1 + {\tan ^2}x) + d = 0\).

Giải phương trình:

a) \({\sin ^3}x + 2\sin x{\cos ^2}x + 3{\cos ^2}x = 0\).

Giả sử cosx = 0. Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \sin x = 0\) (vô lí vì \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)).

Do đó \(\cos x \ne 0\). Chia cả hai vế phương trình cho \({\cos ^3}x\), ta được:

\({\tan ^3}x + 2\tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\{\tan ^2}x - \tan x + 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(4{\sin ^3}x + 3{\cos ^2}x - 3\sin x - {\sin ^2}x\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow 4\sin x(1 - {\cos ^2}x) + 3\cos x(1 - {\sin ^2}x) - 3\sin x - {\sin ^2}x\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x - 4\sin x{\cos ^2}x + 3\cos x - 4{\sin ^2}x\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - \cos x) + 4\sin x\cos x(\sin x - \cos x) - 8{\sin ^2}x\cos x + 4\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)(1 - 4{\cos ^2}x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)(2\cos 2x + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\cos 2x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).