Dãy số - Từ điển môn Toán 11 1. Khái niệm dãy số bị chặn
a) Dãy số bị chặn trên
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn trên.
b) Dãy số bị chặn dưới
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) luôn lớn hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn dưới.
c) Dãy số bị chặn
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho:
\(m \le {u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).2. Cách xét tính bị chặn của dãy số
Sử dụng định nghĩa.
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới: \(m \le {u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ví dụ minh hoạ:
Xét tính bị chặn của các dãy số:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\);
b) \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)
Giải:
a) \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} > 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
b) \({v_n} = \frac{{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) bị chặn trên.
\({v_n} = \frac{{n - 1}}{n} \ge 0\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
3. Cách chứng minh dãy số bị chặn
Sử dụng định nghĩa.
- Để chứng minh dãy số bị chặn trên, ta tìm một số M sao cho \({u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Để chứng minh dãy số bị chặn dưới, ta tìm một số m sao cho \({u_n} \ge m\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
- Để chứng minh dãy số bị chặn, ta tìm các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
