Công thức số hạng tổng quát, cách tính công sai, số hạng thứ n của cấp số cộng - Toán 11

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

Từ đó, ta có thể tính công sai:

\(d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}}\).

Và xét một số \(a = {u_n}\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng:

\(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1\).

1) Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai d = 9.

Giải:

Ta có \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 3 + (n - 1).9 = 9n - 6\).

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 9n - 6\).

2) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{2}\), công sai \(d =  - \frac{1}{2}\).

a) Tính \({u_{20}}\).

b) Số –99 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Giải:

a) \({u_{20}} = {u_1} + (20 - 1)d = \frac{1}{2} + 19.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 9\).

b) Giả sử -99 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

\(n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1 = \frac{{ - 99 - \frac{1}{2}}}{{ - \frac{1}{2}}} + 1 = 200\).

Vậy –99 là số hạng thứ 200 của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\).