Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân - Toán 11

Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức:

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\) với \(n \ge 2\).

Từ công thức trên, ta có thể tìm số hạng thứ n, công bội và xét xem một số a là số hạng thứ mấy của cấp số nhân.

1) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 4\), công bội \(q =  - \frac{1}{2}\). Tính \({u_7}\).

Giải:

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có \({u_7} = {u_1}.{q^{7 - 1}} = 4.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^6} = \frac{1}{{16}}\).

2) Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1536 và số hạng thứ 12 bằng 6144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.

Giải:

Giả sử \({u_1}\) là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_{10}} = {u_1}.{q^9} = 1536\\{u_{12}} = {u_1}.{q^{11}} = 6144\end{array} \right.\)

Từ đây suy ra \({q^2} = 4\), tức là q = 2 hoặc q = -2.

Với q = 2, ta tính được \({u_1} = 3\).

Với q = -2, ta tính được \({u_1} =  - 3\) (trường hợp này loại vì \({u_1} > 0\) theo giả thiết).