Cấp số nhân là gì? Tính chất, cách chứng minh dãy số là cấp số nhân - Toán 11

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}}.q\) với \(n \ge 2\).

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Ta có:

\({u_n}^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}} \Leftrightarrow \left| {{u_n}} \right| = \sqrt {{u_{n - 1}}.{u_{n + 1}}} \) với \(n \ge 2\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho bốn số x; 5; 25; y theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tìm x, y.

Giải:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{5^2} = 25x\\{25^2} = 5y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 125\end{array} \right.\). Vậy x = 1, y = 125.

2) Cho ba số thực a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức D = ac – 5b, biết rằng abc = –27.

Giải:

Vì a, b, c lập thành một cấp số nhân nên ta có \({b^2} = ac\).

Mà \(abc =  - 27 \Leftrightarrow {b^3} =  - 27 \Leftrightarrow b =  - 3\).

Ta có \(ac = \frac{{ - 27}}{b} = \frac{{ - 27}}{{ - 3}} = 9\).

Vậy \(D = ac - 5b = 9 - 5.( - 3) = 24\).

Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, ta chứng minh tỉ số \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}\) không đổi.

Ví dụ minh hoạ:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\). Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân.

Giải:

Với mọi \(n \ge 2\), ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}.\frac{{{3^{n - 2}}}}{1} = \frac{1}{3}\), tức là \({u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}}\), với mọi \(n \ge 2\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{{{3^0}}} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\).