Cấp số cộng là gì? Tính chất, cách chứng minh dãy số là cấp số cộng - Toán 11

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Ví dụ minh hoạ:

Dãy 1; 3; 5; 7; 9 là một cấp số cộng với số hạng đầu là \({u_1} = 1\), công sai là d = 2.

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\). Ta có:

\({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2} \Leftrightarrow {u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\) với \(n \ge 2\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho ba số 3; x; 9 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x.

Giải:

Ta có \(2x = 3 + 9 \Leftrightarrow x = 6\). Vậy x = 6.

2) Cho a, b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết a + b + c = 15. Giá trị của b bằng bao nhiêu?

Giải:

Do a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a + c = 2b.

Mà \(a + b + c = 15 \Leftrightarrow 3b = 15 \Leftrightarrow b = 5\).

Để chúng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp \({u_n} - {u_{n - 1}}\) không đổi.

Ví dụ minh hoạ:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 5n - 1\). Chứng minh rằng \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng.

Giải:

Ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = (5n - 1) - \left[ {5(n - 1) - 1} \right] = 5\), với mọi \(n \ge 2\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.