Cách giải phương trình lượng giác thuần nhất sinkx và coskx - Toán 11

\(a\sin (kx) + b\cos (kx) = c\).

Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin (kx) + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos (kx) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Do \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \), khi đó \(\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \).

Phương trình đã cho trở thành:

\(\cos \alpha \sin (kx) + \sin \alpha \cos (kx) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Từ đây, ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Điều kiện có nghiệm: \(\left| {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \);

b) \(\sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Giải:

a) \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(\sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).