Cách giải phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai - Toán 11

\(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = 0\).

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có phải nghiệm của phương trình hay không.

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta thu được phương trình

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\).

Chú ý: Dạng \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.1\)

\( \Leftrightarrow a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d.({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow (a - d){\sin ^2}x + b\sin x\cos x + (c - d){\cos ^2}x = 0\).

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0\);

b) \({\sin ^2}x - (1 - \sqrt 3 )\sin x\cos x - \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0\).

Giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow (2{\sin ^2}x - 2\sin x\cos ) + (3\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x(\sin x - \cos x) + 3\cos x(\sin x - \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)(2\sin x + 3\cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \cos x\\2\sin x =  - 3\cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x =  - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \frac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \({\sin ^2}x - (1 - \sqrt 3 )\sin x\cos x - \sqrt 3 {\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow ({\sin ^2}x + \sin x\cos x) - (\sqrt 3 \sin x\cos x + \sqrt 3 {\cos ^2}x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x(\sin x + \cos x) - \sqrt 3 \cos x(\sin x + \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(\sin x - \sqrt 3 \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \cos x\\\sin x = \sqrt 3 \cos x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

(Do cosx = 0 không là nghiệm).