Cách giải phương trình sinx - Toán 11

a) Tổng quát

TH1: \(\left| m \right| > 1\): Phương trình vô nghiệm.

TH2: \(\left| m \right| \le 1\): \(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - a + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng sin của các góc đặc biệt thì:

\(\sin x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

b) Trường hợp đặc biệt

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\);

\(\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

Giải phương trình:

a) \(\sin x =  - \frac{1}{2}\);

b) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Giải:

a) Do \(\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{1}{2}\) nên \(\sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

b) Do \(\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).