Mặt cầu là gì? Phương trình mặt cầu - Toán 12

Cho trước điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R.

Nhận xét: Cho mặt cầu S(I;R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\);

hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}\).

Ví dụ minh hoạ:

Viết phương trình mặt cầu, biết:

a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10

b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).

Giải:

a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 100\).

b) Bán kính mặt cầu là \(R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}}  = \sqrt {54} \).

Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính \(R = \sqrt {54} \) là \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^3} = 54\).