Cách lập phương trình mặt cầu biết tâm và điểm thuộc mặt cầu - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\).

Để lập phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B, ta thực hiện:

Bước 1: Tính bán kính mặt cầu: \(R = AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu tâm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\), bán kính R:

\({(x - {x_A})^2} + {(y - {y_A})^2} + {(z - {z_A})^2} = {R^2}\).

Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm A(1;0;2) và đi qua điểm B(2;4;1).

b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).

Giải:

a) Mặt cầu (S) có tâm A(1;0;-2) và đi qua điểm B(2;4;1) nên có bán kính R = AB = \(\sqrt {26} \).

Vậy (S) có phương trình \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 26\).

b) Bán kính mặt cầu là \(R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}}  = \sqrt {54} \).

Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính \(R = \sqrt {54} \) là \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^3} = 54\).