Cách lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A, B, C, D.

Để lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm trên, ta thực hiện:

Bước 1: Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu.

Bước 2: Giải hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_A} - a} \right)^2} + {\left( {{y_A} - b} \right)^2} + {\left( {{z_A} - c} \right)^2} = {\left( {{x_B} - a} \right)^2} + {\left( {{y_B} - b} \right)^2} + {\left( {{z_B} - c} \right)^2}\\{\left( {{x_A} - a} \right)^2} + {\left( {{y_A} - b} \right)^2} + {\left( {{z_A} - c} \right)^2} = {\left( {{x_C} - a} \right)^2} + {\left( {{y_C} - b} \right)^2} + {\left( {{z_C} - c} \right)^2}\\{\left( {{x_A} - a} \right)^2} + {\left( {{y_A} - b} \right)^2} + {\left( {{z_A} - c} \right)^2} = {\left( {{x_D} - a} \right)^2} + {\left( {{y_D} - b} \right)^2} + {\left( {{z_D} - c} \right)^2}\end{array} \right.\)

tìm a, b, c.

Bước 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - a} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - b} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - c} \right)}^2}} \).

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0).

Giải:

Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu.

Vì IA = IB = IC = ID nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {6 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} + {\left( {6 - c} \right)^2}\\{\left( {6 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {0 - b} \right)^2} + {\left( { - 1 - c} \right)^2}\\{\left( {6 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - b} \right)^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} = {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} + {\left( {0 - c} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12a + 6b + 6c =  - 12\\ - 8a + 4b - 8c =  - 44\\ - 4a + 6b - 6c =  - 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\\c = 3\end{array} \right.\).

Khi đó I(2;-1;3) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 17\).