Cách lập phương trình mặt cầu đường kính AB biết toạ độ A, B - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\).

Để lập phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm tâm I của mặt cầu.

I là trung điểm của AB nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).

Bước 2: Tìm bán kính của mặt cầu.

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \).

Bước 3: Lập phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\), bán kính R:

\({(x - {x_I})^2} + {(y - {y_I})^2} + {(z - {z_I})^2} = {R^2}\).

Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có đường kính AB với A(1;3;7) và B(3;5;1).

b) Có đường kính AB với A(-4;3;7) và B(2;1;-3).

Giải:

a) Mặt cầu (S) có đường kính AB nên có tâm J(2;4;4) là trung điểm AB và bán kính \(R = JA = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2} + {{(4 - 7)}^2}}  = \sqrt {11} \).

Vậy (S) có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 11\).

b) Toạ độ tâm I là trung điểm của AB:

\(I = \left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2},\frac{{3 + 1}}{2},\frac{{7 - 3}}{2}} \right) = ( - 1,2,2)\).

\(AB = \sqrt {{{(2 + 4)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{( - 3 - 7)}^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2}} {\rm{\;}} = 2\sqrt {35} \).

\(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {35} }}{2} = \sqrt {35} \).

Phương trình mặt cầu là: \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 2)^2} = 35\).