Công thức xác suất toàn phần - Toán 12

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó

\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\)

Lưu ý: Công thức trên còn có thể viết dưới dạng \(P(A) = P(AB) + P(A\overline B )\).

1) Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường X. Nhóm này có 60% học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy 20% học sinh nam và 15% học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ.
Chọn ngẫu nhiên một sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Giải:

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.

Gọi A là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ" và B, \(\overline B \) lần lượt là các biến cố "Chọn được học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ".

Theo đề bài: \(P\left( B \right) = 60\%  = 0,6\); \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,6 = 0,4\);

\(P(A\mid B) = 20\%  = 0,2\); \(P(A\mid \overline B ) = 15\%  = 0,15.\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P(A\mid B) + P\left( {\overline B } \right).P(A\mid \overline B ) = 0,6.0,2 + 0,4.0,15 = 0,18.\)

Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là 0,18 hay 18%.

2) Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.

Giải:

Gọi:

A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

B là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";

\(\overline B \) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".

Ta có: \(P\left( B \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\); \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó \(P(A\mid B) = \frac{7}{{11}}\).

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó \(P(A\mid \overline B ) = \frac{6}{{11}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P(A\mid B) + P\left( {\overline B } \right).P(A\mid \overline B ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\frac{{13}}{{22}}\).

3) Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giới là thừa cân và 53,4% nữ giới là thừa cân. Nam giới và nữ giới ở Canada đều chiếm 50% dân số cả nước (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu?

Giải:

Xét hai biến cố sau:

A: “Người được chọn ra là người thừa cân”;

B: “Người được chọn ra là nam giới” (biến cố \(\overline B \): “Người được chọn ra là nữ giới”).

Từ giả thiết ta có:

\(P(B) = P(\overline B ) = 50\%  = 0,5\); \(P(A|B) = 65\%  = 0,65\), \(P(A|\overline B ) = 53,4\%  = 0,534\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,5.0,65 + 0,5.0,534 = 0,592\).

Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592.

Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là 59,2%.

4) Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12A, cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chưa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai.

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Từ đó, tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng.

Giải:

Xét hai biến cố:

A: “Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng”.

B: “Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng”.

Khi đó, ta có:

\(P(B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\), \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), \(P(A|B) = \frac{4}{9}\), \(P(A|\overline B ) = \frac{5}{9}\).

a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = \frac{1}{2}.\frac{4}{9} + \frac{1}{2}.\frac{5}{9} = \frac{1}{2}\).

Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng \(\frac{1}{2}\).