Công thức Bayes - Toán 12

Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0:

\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}}\)

Lưu ý: Do \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\) nên công thức Bayes còn có dạng \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\).

1) Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(A|B) = 0,3. Tính P(B|A).

Giải:

Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,6}} = 0,2\).

2) Giả sử có một loại bệnh mà tỷ lệ người mắc bệnh là 0,1%. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỷ lệ phản ứng dương tính giả là 5% (tức là trong số những người không bị bệnh có 5% số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính).

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó bao nhiêu phần trăm (làm tron kết quả đánh hàng phần trăm)?

Giải:

a) Xét hai biến cố:

K: “Người được chọn ra không mắc bệnh”.

D: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”.

Do tỷ lệ mắc bệnh là 0,1% = 0,001 nên P(K) = 1 - 0,001 = 0,999.

Trong số những người mắc bệnh có 5% số người có phản ứng dương tính nên P(D|K) = 5% = 0,05. Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng phản ứng dương tính nên \(P(D|\overline K ) = 1\).

Sơ đồ hình cây ở Hình 3 biểu thị tình huống đã cho.

b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \(P(\overline K |D)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\(P(\overline K |D) = \frac{{P(\overline K ).P(D|\overline K )}}{{P(\overline K ).P(D|\overline K ) + P(K).P(D|K)}} = \frac{{0,001}}{{0,001 + 0,999.0,05}} = 1,96\% \).

Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là 1,96%.

3) Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Giải:

a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên

\(P(B) = 0,4\) và \(P(\overline B ) = 1 - 0,4 = 0,6\).

Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:

\(P(A|B) = 0,02\) và \(P(A|\overline B ) = 0,01\).

Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:

\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014\).

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:

\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}\).

Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:

\(P(\overline B |A) = 1 - P(B|A) = \frac{3}{7}\).

Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.