Cách lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng, đường thẳng - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(a;b;c) và mặt phẳng (P).

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R.

Để lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) , ta thực hiện:

Bước 1: Tính bán kính của (S).

Ta có \(R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {Aa + Bb + Cc + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R.

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

\(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 2) + 2.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\).

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{8}{3}\).

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;0) và tiếp xúc với (P) là:

\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = \frac{{64}}{9}\).

2) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(3;-4;2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

Giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là:

\(d\left( {I,(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {0.3 + 0.( - 4) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2\).

Do (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I,(Oxy)} \right) = 2\).

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(3;-4;2) và tiếp xúc với (Oxy) là:

\({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} + {(z - 2)^2} = 4\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(a;b;c) và đường thẳng d.

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng bán kính R.

Để lập phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d, ta thực hiện:

Bước 1: Tính bán kính của (S).

Ta có \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) với M là điểm bất kì thuộc d, \(\overrightarrow u \) là vecto chỉ phương của d.

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R.

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho điểm A(-3;1;4) và đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

Giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2;1; - 1)\) và đi qua điểm M(-1;2;-3).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = (2;1;7)\), \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right] = (6; - 12;0)\).

Khoảng cách từ A đến d là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{6^2} + {{( - 12)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt {30} \).

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm A đến đường thẳng d là bán kính của mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu tâm A(-3;1;4), bán kính \(R = \sqrt {30} \) là:

\({(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 4)^2} = 30\).