Điều kiện của phương trình mặt cầu - Toán 12

Cho phương trình (*) bất kì.

Để kiếm tra phương trình trên có phải phương trình mặt cầu hay không, ta thực hiện:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Nếu không thể đưa phương trình về dạng trên thì kết luận (*) không phải phương trình mặt cầu.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\), nếu thoả mãn thì (*) là phương trình mặt cầu và ngược lại.

Ví dụ minh hoạ:

Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?

a) \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\).

d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).

Giải:

a) Phương trình \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau.

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của \({z^2}\) bằng 0.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = 2;b =  - 5;c = 1;d = 14\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 25 + 1 - 14 = 16 > 0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu

d) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1;b =  - 2;c = 3;d = 20\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 + 9 - 20 =  - 6 < 0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

Để tìm m sao cho phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, ta thực hiện:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) và xác định các hệ số a, b, c của phương trình.

Bước 2: Giải bất phương trình \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) và kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm tập tất cả giá trị của tham số m để phương trình

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) là phương trình mặt cầu.

Giải:

\(\left( S \right)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với a = -1, b =  m, c = -2 và d = m + 5.

(S) là phương trình mặt cầu khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).