Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu - Toán 12

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\);

hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}\).

Để xác định tâm và bán kính mặt cầu, ta đưa phương trình về dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Khi đó, ta xác định được tâm I(a;b;c) và bán kính R.

Ví dụ minh hoạ:

Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:

a) \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16\).

b) \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4\).

Giải:

a) Ta có \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - ( - 2))^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.

b) Ta có \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4 \Leftrightarrow {(x - ( - 2))^2} + {(y - 0)^2} + {(z - ( - 3))^2} = {2^2}\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(-2;0;-3) và bán kính r = 2.